Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№732 учебника 2023-2025 (стр. 154):
Представьте в виде произведения:
а) \(ac^2 - ad + c^3 - cd - bc^2 + bd\);
б) \(ax^2 + ay^2 - bx^2 - by^2 + b - a\);
в) \(an^2 + cn^2 - ap + ap^2 - cp + cp^2\);
г) \(xy^2 - by^2 - ax + ab + y^2 - a\).
№732 учебника 2013-2022 (стр. 155):
Найдите целое число, которое при делении на 5 даёт остаток 1 и при делении на 7 даёт остаток 1, причём первое частное на 4 больше второго.
№732 учебника 2023-2025 (стр. 154):
Вспомните:
№732 учебника 2013-2022 (стр. 155):
Вспомните:
№732 учебника 2023-2025 (стр. 154):
а) \( ac^2 - ad + c^3 - cd - bc^2 + bd =\)
\(=(ac^2 - ad) + (c^3 - cd) - (bc^2 - bd) =\)
\(=a(c^2 - d) + c(c^2 - d) - b(c^2 - d) =\)
\(=(c^2 - d)\,(a + c - b). \)
б) \( ax^2 + ay^2 - bx^2 - by^2 + b - a =\)
\(=(ax^2 + ay^2 - a) - (bx^2 + by^2 - b) =\)
\(=a\,(x^2 + y^2 - 1) - b\,(x^2 + y^2 - 1) =\)
\(=(a - b)\,(x^2 + y^2 - 1). \)
в) \( an^2 + cn^2 - ap + ap^2 - cp + cp^2 =\)
\(=(an^2 + cn^2) + (ap^2 + cp^2) - (ap + cp) =\)
\(=(a + c)\,n^2 + (a + c)\,p^2 - (a + c)\,p =\)
\(=(a + c)\,(n^2 + p^2 - p). \)
г) \( xy^2 - by^2 - ax + ab + y^2 - a =\)
\(=(xy^2 - by^2 + y^2) - (ax - ab + a) =\)
\(=(x - b + 1)\,y^2 - (x - b + 1)\,a =\)
\(=(x - b + 1)\,(y^2 - a). \)
Пояснения:
Использованные правила:
1. Группировка однотипных слагаемых.
2. Вынесение общего множителя за скобку:
\(A\cdot X + B\cdot X = (A+B)\,X,\)
\(A\cdot X - B\cdot X = (A-B)\,X,\)
Обращаем внимание на то, что при вынесении отрицательного множителя за скобки, знаки слагаемых, оставшихся в скобках, меняем на противоположные.
3. Перестановка слагаемых не меняет результат:
\(A + B = B + A\).
В каждом пункте сначала выделили группы так, чтобы получить общий множитель, затем вынесли его за скобки и сгруппировали оставшиеся слагаемые внутри второй скобки.
№732 учебника 2013-2022 (стр. 155):
Пусть \(a\) - искомое число.
\(a = 5k + 1 \) и \(a = 7m + 1\)
\( k = m + 4\), тогда
\(a = 5(m+4) + 1 =\)
\(=5m + 20 + 1 = 5m + 21\)
\(5m + 21 = 7m + 1 \)
\(5m - 7m = 1 - 21 \)
\(-2m = - 20\)
\(m = \frac{20}{2}\)
\(m = 10\)
\(a = 7\cdot 10 + 1 = 70 + 1 = 71. \)
Ответ: \(71\).
Пояснения:
1. Деление с остатком. Любое целое число \(a\) при делении на \(d\) можно записать как \(a = d\cdot q + r\), где \(q\) — частное, \(0 \le r < d\).
2. Установление переменных. Введены \(k\) и \(m\) как частные при делении числа \(a\) на 5 и на 7 соответственно, с остатками 1.
3. Условие на частные. По условию первое частное \(k\) на 4 больше второго \(m\), что даёт уравнение \(k = m + 4\).
4. Решение уравнения. Подстановка в выражение для \(a\) при делении на 5 и приравнивание к выражению при делении на 7 позволяет получить линейное уравнение \(-2m = - 20\) и найти \(m\), а затем само число \(a\).
5. Проверка.
Проверили, что при \(a=71\) действительно \(71 = 5\cdot14 + 1\) и \(71 = 7\cdot10 + 1\), а \(14 = 10 + 4\).
Вернуться к содержанию учебника