Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№863 учебника 2023-2025 (стр. 173):
Докажите, что при любом значении \(x\) многочлен \(x^2 + 6x + 10\) принимает положительные значения.
№863 учебника 2013-2022 (стр. 174):
Представьте выражение в виде многочлена:
а) \(( -3xy + a )( 3xy + a )\);
б) \(( -1 - 2a^2b )( 1 - 2a^2b )\);
в) \(( 12a^3 - 7x )( -12a^3 - 7x )\);
г) \((-10p^4 + 9)(9 - 10p^4)\);
д) \(( 0{,}2x + 10y )( 10y - 0{,}2x )\);
е) \(( 1{,}1y - 0{,}3 )( 0{,}3 + 1{,}1y )\).
№863 учебника 2023-2025 (стр. 173):
Вспомните:
№863 учебника 2013-2022 (стр. 174):
Вспомните:
№863 учебника 2023-2025 (стр. 173):
\(x^2 + 6x + 10 = x^2 + 6x + 9 + 1 =\)
\(=(x^2 + 2\cdot{x}\cdot3 + 3^2) + 1=\)
\((x + 3)^2 + 1 > 0\) при любом \(x\).
Пояснения:
Использованная формула:
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений.
1. Учитывая то, что \(10 = 9 + 1\), в рассматриваемом выражении можем выделить квадрат двучлена, получим:
\( x^2 + 6x + 10 = (x + 3)^2 + 1. \)
2. Известно, что квадрат любого числа неотрицателен, значит, \((x + 3)^2 \ge 0\).
3. Прибавляя к неотрицательному числу единицу, получаем число строго больше нуля:
\((x + 3)^2 + 1 \ge 1 > 0\).
Следовательно, \(x^2 + 6x + 10\) положителен для всех \(x\).
№863 учебника 2013-2022 (стр. 174):
а) \(( -3xy + a )( 3xy + a ) =\)
\(=( a - 3xy )( a + 3xy ) =\)
\(=a^2 - (3xy)^2 = a^2 - 9x^2y^2.\)
б) \(( -1 - 2a^2b )( 1 - 2a^2b ) =\)
\(=-(1 + 2a^2b)(1 - 2a^2b) =\)
\(=-(1 - (2a^2b)^2) = 4a^4b^2 - 1.\)
в) \(( 12a^3 - 7x )( -12a^3 - 7x ) =\)
\(=-(12a^3 - 7x)(12a^3 + 7x) =\)
\(=-( (12a^3)^2 - (7x)^2 ) = \)
\(=49x^2 - 144a^6.\)
г) \((-10p^4 + 9)(9 - 10p^4) =\)
\(=(9 - 10p^4)(9 - 10p^4) =\)
\(=(9 - 10p^4)^2= \)
\(=9^2 - 2\cdot9\cdot10p^4 + (10p^4)^2=\)
\(= 81 - 180p^4 + 100p^8.\)
д) \(( 0{,}2x + 10y )( 10y - 0{,}2x ) =\)
\(=( 10y + 0{,}2x )( 10y - 0{,}2x ) =\)
\(= (10y)^2 - (0{,}2x)^2 = 100y^2 - 0{,}04x^2.\)
е) \(( 1{,}1y - 0{,}3 )( 0{,}3 + 1{,}1y ) =\)
\(=( 1{,}1y - 0{,}3 )( 1{,}1y + 0{,}3 ) =\)
\(=(1{,}1y)^2 - (0{,}3)^2 = 1{,}21y^2 - 0{,}09.\)
Пояснения:
Использованные формулы:
1) \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) - произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.
2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.
Также помним, чтобы записать сумму, противоположную сумме нескольких слагаемых, надо изменить знаки данных слагаемых:
\(-(a + b) = -a - b.\)
При выполнении преобразований, использовали свойства степени:
\((a\cdot{b})^n = a^nb^n;\)
\((a^m)^n = a^{mn}.\)
Во всех пунктах, кроме пункта г), произведение двучлена и двучлена с обратным знаком даёт разность квадратов. В случаях с обратным порядком или с минусом перед выражением дополнительно выносили «–» перед разложением, но конечный результат всегда равен \(a^2 - b^2\).
В пункте г) применяем формулу квадрата разности двух выражений.
Вернуться к содержанию учебника