Упражнение 865 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((a - 10b)^2\) - «квадрат разности \(a\) и \(10b\)».

б) \(a^2 - (10b)^2\) - «разность квадратов \(a\) и \(10b\)».

в) \((a + 10b)(a - 10b)\) - «произведение суммы \(a\) и \(10b\) и разности \(a\) и \(10b\)».

а) \((7 - 6x)(7 + 6x) = \)

\(=7^2 - (6x)^2 = 49 - 36x^2 \)

Наибольшее значение  выражения равно \(49\) при \(x=0\).

Ответ: \(49\).

б) \(\bigl(4 - \tfrac{1}{3}b\bigr)\bigl(4 + \tfrac{1}{3}b\bigr) =\)

\(=4^2 - \bigl(\tfrac{1}{3}b\bigr)^2 = 16 - \tfrac{b^2}{9}\)

Наибольшее значение  выражения равно \(16\) при \(b=0\).

Ответ: \(16.\)

в) \(\bigl(\tfrac{1}{3} - 2y\bigr)\bigl(\tfrac{1}{3} + 2y\bigr) =\)

\(=\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^2 - (2y)^2 = \tfrac{1}{9} - 4y^2\)

Наибольшее значение  выражения равно \(\tfrac{1}{9}\) при \(y=0\).

Ответ: \(\tfrac{1}{9}.\)

г) \(\bigl(4a + 1\tfrac{1}{7}\bigr)\bigl(1\tfrac{1}{7} - 4a\bigr) =\)

\(=\bigl(1\tfrac{1}{7}\bigr)^2 - (4a)^2 = \bigl(\tfrac{8}{7}\bigr)^2 - (4a)^2 =\)

\(=\tfrac{64}{49} - 16a^2 = 1\tfrac{15}{49} - 16a^2 \)

Наибольшее значение  выражения равно \(1\tfrac{15}{49}\) при \(a=0\).

Ответ: \(1\tfrac{15}{49}.\)

Пояснения:

Использованная формула:

1) \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) - произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

При выполнении преобразований, использовали свойство степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

При определении наибольшего значения учитывали то, что, чем меньше уменьшаемое, тем больше разность. Наименьшее значение, которое может принимать уменьшаемое в каждом случае - это ноль.