Упражнение 860 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\tfrac14x^2 + 3x + 9 =\)

\(=((\tfrac12x)^2 + 2\cdot{\tfrac12x}\cdot3 + 3^2 =\)

\(=\bigl(\tfrac12x + 3\bigr)^2\).

б) \(25a^2 - 30ab + 9b^2 =\)

\(=(5a)^2 - 2\cdot{5a}\cdot{3b} + (3b)^2 =\)

\(=(5a - 3b)^2\).

в) \(p^2 - 2p + 4= p^2 - 2p + 2^2\) — не является полным квадратом двучлена, так как

\(2\cdot{p}\cdot2 = 4p\).

г) \(\tfrac19x^2 + \tfrac{2}{15}xy + \tfrac1{25}y^2 =\)

\(=(\tfrac13x)^2 + 2\cdot\tfrac{1}{3}x\cdot\tfrac{1}{5}y + (\tfrac1{5}y)^2 =\)

\(=\bigl(\tfrac13x + \tfrac15y\bigr)^2\).

д) \(100b^2 + 9c^2 - 60bc = \)

\(=100b^2 - 60bc + 9c^2 = \)

\(=(10b)^2 - 2\cdot10b\cdot3c + (3c)^2 = \)

\(=(10b - 3c)^2\).

е) \(49x^2 + 12xy + 64y^2=\)

\(=(7x)^2 + 12xy + (8y)^2\) — не является полным квадратом двучлена, так как

\(2\cdot7x\cdot8y= 112xy\).

Пояснения:

Использованные формулы:

1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

При этом учитывали свойство степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

Комментарий к пунктам:

В пунктах в) и е) средний член трехчлена не совпадает с удвоенным произведением крайних членов.

а) \((100 - 1)(100 + 1) = \)

\(=100^2 - 1^2 = 10000 - 1 = 9999\)

б) \((80 + 3)(80 - 3) = 80^2 - 3^2 =\)

\(=6400 - 9 = 6391\)

в) \(64 \cdot 56 = (60 + 4)(60 - 4) =\)

\(60^2 - 4^2 = 3600 - 16 = 3584\)

г) \(201 \cdot 199 = (200 + 1)(200 - 1) =\)

\(=200^2 - 1^2 = 40000 - 1 = 39999\)

д) \(74 \cdot 66 = (70 + 4)(70 - 4) =\)

\(=70^2 - 4^2 = 4900 - 16 = 4884\)

е) \(1002 \cdot 998 = \)

\(=(1000 + 2)(1000 - 2) =\)

\(=1000^2 - 2^2 = 1000000 - 4 =\)

\(=999996\)

ж) \(1{,}05 \cdot 0{,}95 =\)

\(=(1 + 0{,}05)(1 - 0{,}05) =\)

\(=1^2 - (0{,}05)^2 = 1 - 0{,}0025 =\)

\(=0{,}9975\)

з) \(60{,}1 \cdot 59{,}9 = \)

\(=(60 + 0{,}1)(60 - 0{,}1) =\)

\(=60^2 - (0{,}1)^2 = 3600 - 0{,}01 =\)

\(=3599{,}99\)

Пояснения:

Использованная формула:

\( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) - произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Во всех пунктах каждое произведение сводится к разности квадратов двух чисел, близких к круглому значению (например, 100 и 1, 80 и 3, 60 и 4, 200 и 1 и т.д.). Для десятичных множителей аналогично берётся целое значение 1 или 60 и отклонение 0,05 или 0,1.