Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№862 учебника 2023-2025 (стр. 173):
Разложите на множители трёхчлен:
а) \(4a^6 - 4a^3b^2 + b^4\);
б) \(b^8 - a^2b^4 + \tfrac14a^4\).
№862 учебника 2013-2022 (стр. 174):
Представьте выражение в виде многочлена, используя соответствующую формулу сокращённого умножения:
а) \(( -y + x )( x + y )\);
б) \(( -a + b )( b - a )\);
в) \(( -b - c )( b - c )\);
г) \(( x + y )( -x - y )\);
д) \(( x - y )( y - x )\);
е) \(( -a - b )( -a - b )\).
№862 учебника 2023-2025 (стр. 173):
Вспомните:
№862 учебника 2013-2022 (стр. 174):
Вспомните:
№862 учебника 2023-2025 (стр. 173):
а) \(4a^6 - 4a^3b^2 + b^4 = \)
\(=(2a^3)^2 - 2\cdot2a^3\cdot{b^2} + (b^2)^2 = \)
\(=(2a^3 - b^2)^2\).
б) \(b^8 - a^2b^4 + \tfrac14a^4 =\)
\(=(b^4)^2 - 2\cdot{b^4}\cdot\tfrac12a^2 + (\tfrac12a^2)^2 =\)
\(=(b^4 - \tfrac12a^2)^2\).
Пояснения:
Использованные формулы:
1) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.
При этом учитывали свойства степени:
\(a^nb^n=(ab)^n;\)
\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)
а) Замечаем, что \(4a^6 = (2a^3)^2\),
\(b^4 = (b^2)^2\) и среднее слагаемое
\(-4a^3b^2 = -2\cdot (2a^3)\cdot b^2\).
По формуле квадрата разности получаем
\((2a^3 - b^2)^2\).
б) Видим, что \(b^8 = (b^4)^2\),
\(\tfrac14a^4 = \bigl(\tfrac12a^2\bigr)^2\) и среднее слагаемое
\(-a^2b^4 = -2\cdot b^4\cdot \tfrac12a^2\).
По той же формуле квадрата разности получаем
\((b^4 - \tfrac12a^2)^2\).
№862 учебника 2013-2022 (стр. 174):
а) \(( -y + x )( x + y ) = \)
\(=( x - y )( x + y ) = x^2 - y^2.\)
б) \(( -a + b )( b - a ) =\)
\(=( b - a )( b - a ) = ( b - a )^2 =\)
\(=b^2 - 2ab + a^2.\)
в) \(( -b - c )( b - c ) =\)
\(=-( b + c )( b - c ) =\)
\(=-\bigl(b^2 - c^2\bigr) = c^2 - b^2.\)
г) \(( x + y )( -x - y ) = -\,( x + y )^2 =\)
\(=-\bigl(x^2 + 2xy + y^2\bigr) =\)
\(=-x^2 - 2xy - y^2.\)
д) \(( x - y )( y - x ) =\)
\(=- ( x - y )( x - y ) = -( x - y )^2 =\)
\(=-\bigl(x^2 - 2xy + y^2\bigr) =\)
\(=-x^2 + 2xy - y^2.\)
е) \(( -a - b )( -a - b ) = ( -a - b )^2 =\)
\(=(a + b )^2 = a^2 + 2ab + b^2.\)
Пояснения:
Использованные формулы сокращённого умножения:
1) \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) - произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.
2) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,
3) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.
Также помним, чтобы записать сумму, противоположную сумме нескольких слагаемых, надо изменить знаки данных слагаемых:
\(-(a + b) = -a - b.\)
В пункте а) преобразовали \(-y + x\) в \(x - y\) и применили формулу разности квадратов.
В пункте б) оба множителя совпали: \((-a + b) = (b - a)\), получилось квадрат двучлена.
В пункте в) вынесли знак «–» из первого множителя, получили минус перед разностью квадратов.
В пунктах г) и д) произведение даёт отрицательный квадрат двучлена, поэтому результат – квадрат двучлена со знаком «–».
В пункте е) два одинаковых двучлена дают квадрат суммы
\((-a - b)^2 = (a + b)^2\).
Вернуться к содержанию учебника