Упражнение 894 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник
Старая и новая редакции
Вернуться к содержанию учебника
Вопрос
Выберите год учебника
№894 учебника 2023-2026 (стр. 214):
Закрасьте на координатной плоскости фигуру, которая задаётся системой неравенств
\[ \begin{cases} y-4 \leq x^2-4|x|,\\ 4x-3y \leq -12. \end{cases} \]
Охарактеризуйте её аналитически.
№894 учебника 2014-2022 (стр. 223):
Сколько пятизначных чисел, в которых все цифры разные, можно составить из цифр:
а) 1, 3, 5, 7, 9;
б) 0, 2, 4, 6, 8?
Подсказка
№894 учебника 2023-2026 (стр. 214):
Вспомните:
- Неравенства с двумя переменными и их системы.
- Модуль числа.
- Линейная функция, ее график.
- Квадратичная функция, ее график.
- Координаты точки на координатной плоскости.
- Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений.
- Степень с натуральным показателем.
- Свойства числовых неравенств.
№894 учебника 2014-2022 (стр. 223):
Вспомните:
- Перестановки.
- Факториал.
- Распределительное свойство умножения.
Ответ
№894 учебника 2023-2026 (стр. 214):
\[ \begin{cases} y-4 \leq x^2-4|x|,\\ 4x-3y \leq -12 \end{cases} \]
1) \( y-4 \leq x^2-4|x| \)
\[ y \leq |x|^2-4|x|+4 \]
\[ y \leq (|x|-2)^2 \]
Если \(y \ge 0\), то
\[ y \leq (x-2)^2 \]
\( y \leq (x-2)^2 \) - парабола с вершиной в точке \((0; 2)\), ветви вверх.
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| \(y\) | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
Если \(y < 0\), то
\[ y \leq (-x-2)^2 \]
\[ y \leq (x+2)^2 \]
\( y \leq (x+2)^2 \) - парабола с вершиной в точке \((0; -2)\), ветви вверх.
| \(x\) | 0 | -1 | -2 | -3 | -4 |
| \(y\) | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
2) \( 4x-3y \leq -12 \)
\( -3y \leq -12-4x \) \(/ : (-3)\)
\[ y \geq \frac{4}{3}x+4 \]
\[ y = \frac{4}{3}x+4 \]
| \(x\) | -3 | 0 |
| \(y\) | 0 | 4 |
Решением системы является часть плоскости, расположенная выше прямой \( y = \frac{4}{3}x+4 \) и вне графика функции \( y \leq (|x|-2)^2 \).
Пояснения:
Сначала приведём каждое неравенство к виду, удобному для построения графиков.
Первое неравенство:
\[ y-4 \leq x^2-4|x|. \]
Переносим \(4\) вправо:
\[ y \leq x^2-4|x|+4. \]
Выражение справа можно записать как полный квадрат, учитывая то, что \(x^2 = |x|^2\):
\[ x^2-4|x|+4=(|x|-2)^2. \]
Значит, первая граница — график
\[ y=(|x|-2)^2. \]
Это две ветви парабол:
\[ y=(x-2)^2 \quad \text{при } x\geq 0, \]
\[ y=(x+2)^2 \quad \text{при } x<0. \]
Так как знак неравенства \(\leq\), берутся точки на этой линии и ниже неё.
Теперь второе неравенство:
\[ 4x-3y \leq -12. \]
Выразим \(y\):
\[ -3y \leq -12-4x, \]
\[ 3y \geq 12+4x, \]
\[ y \geq 4+\frac{4}{3}x. \]
Это полуплоскость выше прямой
\[ y=4+\frac{4}{3}x. \]
Теперь нужно взять пересечение двух множеств: точки должны лежать одновременно выше прямой и ниже графика
\[ y=(|x|-2)^2. \]
№894 учебника 2014-2022 (стр. 223):
а) \(P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \)
Ответ: \(120\) чисел.
б) \(P_5 - P_4 = 5! - 4! = 5\cdot4! - 4! =\)
\(=4!\cdot(5 - 1) = 4! \cdot4 = \)
\(=4\cdot3\cdot2\cdot1\cdot4 = 96 \)
Ответ: \(96\) чисел.
Пояснения:
Число всех возможных перестановок из \(n\) элементов без повторений вычисляется по формуле:
\(P_n = n!\)
Свойство факториала:
\[ n! = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot 1 \]
а) Даны 5 различных цифр: 1, 3, 5, 7, 9.
Все числа пятизначные и все цифры используются без повторений.
Это просто перестановки всех 5 цифр:
\[ P_5 = 5! = 120 \]
б) Цифры: 0, 2, 4, 6, 8.
Важно: число не может начинаться с 0. Из всех возможных перестановок из 5 чисел нужно вычесть перестановки 4 чисел, учитывая то, что на первое место 0 нельзя ставить:
\(P_5 - P_4 = 5! - 4! = 96\).
Вернуться к содержанию учебника