Упражнение 666 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\((x_n)\) - последовательность.

\(S_n=n^2-8n\)

1) \(x_n=S_n-S_{n-1}\)

\(S_{n-1} = (n-1)^2-8(n-1) =\)

\(=n^2-2n+1-8n+8=\)

\(=n^2 - 10n + 9\).

\(x_n=(n^2-8n)-(n^2 - 10n + 9)=\)

\(=n^2-8n-n^2+10n-9=\)

\(=2n-9.\)

\(d = x_{n+1}-x_n=\)

\(=(2(n+1)-9)-(2n-9)=\)

\(=\cancel{2n} + 2 - \cancel9 - \cancel{2n} + \cancel9 =2\) - не зависит от \(n\), поэтому последовательность арифметическая.

\(x_5=2\cdot5-9 = 10 - 9 =1\).

Ответ: \(x_5= 1\).

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1) Член последовательности выражается через суммы:

\[x_n=S_n-S_{n-1}.\]

2) Последовательность является арифметической, если разность соседних членов постоянна (не зависит от \(n\).

Проверка, является ли последовательность арифметической.

По формуле суммы \(S_n=n^2-8n\) находим общий член последовательности:

\[x_n=2n-9.\]

Так как каждый следующий член увеличивается на одно и то же число \(2\), последовательность является арифметической прогрессией.

Нахождение пятого члена.

Подставляя \(n=5\) в формулу общего члена, получаем:

\[x_5=2\cdot5-9=1.\]

\((b_n)\) — последовательность, в которой

\[b_1=-3,\quad b_{k+1}=b_k+6k+3.\]

Доказать:

\[b_n=3n^2-6.\]

Доказательство:

1) При \(n=1\):

\(b_1=3\cdot1^2-6 = 3-6=-3\) - верно.

2) Пусть при \(n = k\) формула верна:

\[b_k=3k^2-6.\]

При \(n = k + 1\):

\[b_{k+1}=3(k+1)^2-6.\]

\[b_{k+1}=b_k+6k+3=\]

\[=3k^2-6+6k+3=\]

\[=3k^2+6k-3=\]

\[=(3k^2+6k + 3) - 3 - 3=\]

\[=3(k^2+2k+1)-6=\]

\[=3(k+1)^2-6.\]

Формула верна при \(n = k+1\).

Значит, \(b_n=3n^2-6\) при любом натуральном \(n\).

Пояснения:

Используемые правила и приёмы:

1) Математическая индукция. Чтобы доказать формулу для всех натуральных \(n\), необходимо:

а) проверить её при \(n=1\);

б) предположить её верность при

\(n=k\) и доказать при \(n=k+1\).

2) Формула квадрата суммы:

\[(x+y)^2=x^2+2xy+y^2.\]

3) Подстановка выражения вместо переменной в рекуррентную формулу.

База индукции.

Подставляем \(n=1\) в предполагаемую формулу:

\[b_1=3\cdot 1^2-6=-3.\]

Это совпадает с заданным первым членом последовательности, значит база выполнена.

Индукционный переход.

Предполагаем, что для некоторого номера \(k\) член последовательности вычисляется по формуле

\[b_k=3k^2-6.\]

Следующий член по условию задачи равен

\[b_{k+1}=b_k+6k+3.\]

Подставляем вместо \(b_k\) выражение из индукционного предположения:

\[b_{k+1}=3k^2-6+6k+3.\]

Приводим подобные члены:

\[3k^2+6k-3.\]

Замечаем, что выражение в скобках можно представить как квадрат суммы:

\[k^2+2k+1=(k+1)^2.\]

Тогда:

\[3k^2+6k-3=3(k+1)^2-6.\]

То есть формула верна и для номера \(k+1\).

Вывод.

Так как формула верна при \(n=1\) и из её верности при \(n=k\) следует верность при \(n=k+1\), то последовательность \((b_n)\) при любом натуральном \(n\) задаётся формулой

\[b_n=3n^2-6.\]

Что и требовалось доказать.