Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№584 учебника 2023-2026 (стр. 166):
Укажите наибольшее число членов арифметической прогрессии \(17,\,14,\,11,\,\ldots\), при сложении которых получается положительное число.
№584 учебника 2014-2022 (стр. 152):
Найдите первый член арифметической прогрессии \((x_n)\), если известно, что:
а) \(x_{30}=128,\ d=4\);
б) \(x_{45}=-208,\ d=-7\);
в) \(x_{11}=36,\ d=-8\);
г) \(x_{17}=1,\ d=-3\).
№584 учебника 2023-2026 (стр. 166):
Вспомните:
№584 учебника 2014-2022 (стр. 152):
Вспомните:
№584 учебника 2023-2026 (стр. 166):
\(17,\,14,\,11,\,\ldots\) - арифметическая прогрессия.
\(a_1=17,\)
\(d=14 - 17=-3\).
\(S_n>0\)
\(S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\,n=\)
\(=\dfrac{2\cdot17+(-3)\cdot(n-1)}{2}\,n=\)
\(=\dfrac{34-3n+3}{2}\,n=\dfrac{-3n+37}{2}\,n\).
\(\dfrac{-3n+37}{2}\,n > 0\) \(/\times2\)
\((-3n + 37)n > 0\)
\(n\in N\), значит, \(n>0\), то:
\(-3n + 37>0\)
\(-3n > -37\) \(/\times(-1)\)
\(3n<37\)
\(n<\dfrac{37}{3}\)
\(n<12\dfrac{1}{3}\)
\(n=12\) - наибольшее число членов арифметической прогрессии, при сложении которых получается положительное число.
Ответ: \(n=12\).
Пояснения:
Последовательность \(17,14,11,\ldots\) — арифметическая прогрессия с разностью \(d=-3\), то есть её члены убывают.
Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии выражается формулой:
\(S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\,n\).
Подставляя \(a_1=17\) и \(d=-3\), получаем \(S_n=\dfrac{-3n+37}{2}\,n\). Чтобы сумма была положительной, нужно \(S_n>0\). Так как \(n>0\), знак суммы определяется выражением \(37-3n\). Отсюда \(n<12\dfrac{1}{3}\), и максимальное натуральное \(n\) равно 12.
№584 учебника 2014-2022 (стр. 152):
а) \((x_n)\) - арифметическая прогрессия.
\(x_{30}=128,\ d=4\)
\(x_n=x_1+(n-1)d\)
\(128=x_1+(30-1)\cdot4\)
\(128=x_1+29\cdot4\)
\(128=x_1+116\)
\(x_1=128-116\)
\(x_1=12\)
б) \((x_n)\) - арифметическая прогрессия.
\(x_{45}=-208,\ d=-7\)
\(x_n=x_1+(n-1)d\)
\(-208=x_1+(45-1)\cdot(-7)\)
\(-208=x_1+44\cdot(-7)\)
\(-208=x_1-308\)
\(x_1=-208+308\)
\(x_1=100\)
в) \((x_n)\) - арифметическая прогрессия.
\(x_{11}=36,\ d=-8\)
\(x_n=x_1+(n-1)d\)
\(36=x_1+(11-1)\cdot(-8)\)
\(36=x_1+10\cdot(-8)\)
\(36=x_1-80\)
\(x_1=36+80\)
\(x_1=116\)
г) \((x_n)\) - арифметическая прогрессия.
\(x_{17}=1,\ d=-3\)
\(x_n=x_1+(n-1)d\)
\(1=x_1+(17-1)\cdot(-3)\)
\(1=x_1+16\cdot(-3)\)
\(1=x_1-48\)
\(x_1=1+48\)
\(x_1=49\)
Пояснения:
Арифметическая прогрессия задаётся формулой:
\[x_n=x_1+(n-1)d.\]
Если известен некоторый член прогрессии \(x_n\) и разность \(d\), то первый член можно найти, выразив его из формулы:
\[x_1=x_n-(n-1)d.\]
В каждом пункте именно эта формула применяется: от известного члена прогрессии вычитается произведение разности \(d\) на число \(n-1\).
Вернуться к содержанию учебника