Упражнение 483 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(y=x+5\) и \(y=x-5\)

\(y - (x + 5)) (y - (x - 5)) =\)

\(y - x - 5)(y - x + 5) = 0\)

\((y - x)^2 - 5^2 = 0\)

\((y - x)^2 - 25 = 0\)

б) \(x^2+y^2=4\), \(y=-3\) и \(y=3\)

\( (x^2+y^2-4)(y+3)(y-3)=0 \)

\( (x^2+y^2-4)(y^2-9)=0 \)

в) \(xy=6\) и \(x^2+y^2=1\)

\( (xy-6)(x^2+y^2-1)=0 \)

Пояснения:

Правила и приёмы:

1. Если график — объединение нескольких линий, то уравнение можно записать как произведение, равное нулю:

\( F(x,y)=0 \ \text{или}\ G(x,y)=0 \), то

\(F(x,y)\cdot G(x,y)=0. \)

Пояснение к заданиям:

а) Точка принадлежит графику, если лежит на первой прямой или на второй, поэтому записываем произведение двух линейных множителей.

б) График состоит из окружности и двух прямых, значит берём произведение трёх множителей, равное нулю.

в) График — объединение гиперболы и окружности, поэтому произведение их уравнений равно нулю.

а) \(y > 2x - 3\);

Пара \((0; 0)\):

\[0 > 2\cdot0 - 3,\quad 0 > -3.\]

Пара \((1; 0)\):

\[0 > 2\cdot1 - 3,\quad 0 > -1.\]

б) \(y < 3x - 5\);

Пара \((0; -6)\):

\[-6 < 3\cdot0 - 5,\quad -6 < -5.\]

Пара \((2; 0)\):

\[0 < 3\cdot2 - 5,\quad 0 < 1.\]

в) \(y \le x^2 - 1\);

Пара \((0; -1)\):

\[-1 \le 0^2 - 1,\quad -1 \le -1.\]

Пара \((2; 0)\):

\[0 \le 2^2 - 1,\quad 0 \le 3.\]

г) \(x^2 + y^2 \le 9\).

Пара \((0; 0)\):

\[0^2 + 0^2 \le 9,\quad 0 \le 9.\]

Пара \((3; 0)\):

\[3^2 + 0^2 \le 9,\quad 9 \le 9.\]

Пояснения:

1. Пара чисел \((x_0; y_0)\) является решением неравенства с переменными \(x\) и \(y\), если при подстановке \(x = x_0\) и \(y = y_0\) в левую и правую части неравенства получается верное числовое неравенство.

2. Для линейных неравенств вида \(y > kx + b\) или \(y < kx + b\) множество решений задаётся полуплоскостью. Достаточно подобрать любое значение \(x\), затем вычислить правую часть и взять \(y\) так, чтобы неравенство выполнялось.

3. Для неравенства вида \(y \le x^2 - 1\) множество решений — точки на графике параболы \(y = x^2 - 1\) и ниже её. Поэтому можно брать любые удобные значения \(x\), находить \(x^2 - 1\) и выбирать \(y\), не превышающее это число.

4. Неравенство \(x^2 + y^2 \le 9\) описывает круг радиуса \(3\) с центром в начале координат: все точки внутри круга и на окружности.

Пояснение к пункту а)

Неравенство \(y > 2x - 3\). Берём, например, \(x = 0\). Тогда правая часть:

\[2\cdot0 - 3 = -3.\]

Чтобы неравенство выполнялось, нужно \(y > -3\). Берём \(y = 0\). Получаем пару \((0; 0)\), проверка: \[ 0 > -3 \] верно. Аналогично, при \(x = 1\): \[ 2\cdot1 - 3 = -1, \] берём \(y = 0\), имеем \[ 0 > -1, \] тоже верно.

Пояснение к пункту б)

Неравенство \(y < 3x - 5\). При \(x = 0\): \[ 3\cdot0 - 5 = -5. \] Требуется \(y < -5\), выбираем \(y = -6\). Тогда \[ -6 < -5 \] верно. При \(x = 2\): \[ 3\cdot2 - 5 = 1. \] Нужно \(y < 1\), можно взять \(y = 0\), получаем \[ 0 < 1, \] неравенство выполняется.

Пояснение к пункту в)

Неравенство \(y \le x^2 - 1\). При \(x = 0\): \[ x^2 - 1 = 0^2 - 1 = -1. \] Можно взять \(y = -1\), тогда \[ -1 \le -1 \] верно. При \(x = 2\): \[ x^2 - 1 = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3. \] Берём \(y = 0\). Проверяем: \[ 0 \le 3, \] неравенство выполняется.

Пояснение к пункту г)

Неравенство \(x^2 + y^2 \le 9\). Это расстояние от точки \((x; y)\) до начала координат в квадрате не больше \(9\), то есть сама длина не больше \(3\). Точка \((0; 0)\) находится в центре: \[ 0^2 + 0^2 = 0 \le 9. \] Точка \((3; 0)\) лежит на окружности радиуса \(3\): \[ 3^2 + 0^2 = 9 \le 9. \] Значит, обе пары являются решениями.