Упражнение 482 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( x^2+y^2+2x+1=0\)

\((x^2+2x+1)+y^2=0\)

\((x+1)^2+y^2 =0\)

\( (x+1)^2+y^2=0 \)

\( (x+1)^2=0\)  и  \( y^2=0 \)

\( x+ 1 = 0\)           \( y=0 \)

\((-1;0)\) - единственное решение.

б) \( x^2-2x+y^2+4y+5=0\)

\((x^2-2x+1)+(y^2+4y+4)=0 \)

\( (x-1)^2+(y+2)^2=0\)

\( (x-1)^2=0\)  и  \((y+2)^2=0 \)

\(x - 1 = 0\)            \(y + 2 = 0\)

\( x=1\)                   \( y=-2 \)

\((1;-2)\) - единственное решение.

Пояснения:

Правила и формулы:

1. Квадрат любого действительного числа неотрицателен:

\[ a^2\ge 0. \]

2. Выделение полного квадрата:

\[ x^2+2ax+a^2=(x+a)^2, \]

\[ x^2-2ax+a^2=(x-a)^2. \]

3. Если сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, то каждое из них равно нулю:

\( A\ge 0,\ B\ge 0,\ A+B=0 \), то

\(A=0,\ B=0. \)

Пояснение к пункту а):

Левая часть уравнения представляется как сумма квадратов \((x+1)^2\) и \(y^2\). Оба эти выражения неотрицательны, поэтому их сумма может быть равна нулю только тогда, когда оба квадрата равны нулю. Это даёт единственную пару \((-1;0)\).

Пояснение к пункту б):

Учитывая то, что \(5 = 1 + 4\), получили сумму квадратов выражений: \((x-1)^2\) и \((y+2)^2\). Сумма двух квадратов равна нулю только при нулевых значениях каждого квадрата, значит решение единственно: \((1;-2)\).

\((-2; 3)\)

а) \(2x - 3y + 16>0\)

\(2\cdot(-2) - 3\cdot3 + 16 = -4 - 9 + 16 =\)

\(=-13 + 16 = 3\), \(3>0\) - верно.

Ответ: является.

б) \(x^2 + 3xy - y^2<20\)

\( (-2)^2 + 3\cdot(-2)\cdot3 - 3^2 =\)

\(=4 - 18 - 9 = 4 - 27 = -23\)

\(-23<20.\)

Ответ: является.

в) \((x + 3)^2 + (y - 4)^2<2\)

\((-2 + 3)^2 + (3 - 4)^2 = 1^2 + (-1)^2 =\)

\(=1 + 1 = 2\), \(2<2\) - неверно.

Ответ: не является.

г) \((x + y)(y - 8) <1\)

\( (-2 + 3)(3 - 8) = 1\cdot(-5) = -5\), \(-5<1\) - верно.

Ответ: является.

д) \(x^2 + y^2 - x - y \geq 0\)

\((-2)^2 + 3^2 - (-2) - 3 =\)

\(=4 + 9 + 2 - 3 = \)

\(=13 - 1 = 12\), \(12\geq 0\) - верно.

Ответ: является.

е) \(3x^2 - 5y^2 + x - y <11\)

\(3\cdot(-2)^2 - 5\cdot3^2 + (-2) - 3 =\)

\(=3\cdot4 - 5\cdot9 - 2 - 3 = \)

\(=12 - 45 - 5 = -33 - 5 = -38\), \(-38<11.\)

Ответ: является.

Пояснения:

Основные правила, которые используются при решении:

Чтобы проверить, является ли пара чисел \((x_0; y_0)\) решением неравенства, нужно подставить \(x = x_0\) и \(y = y_0\) в левую часть неравенства и вычислить значение выражения. После подстановки выполняем арифметические действия: сначала умножения и возведение в степень, затем сложение и вычитание, в конце сравниваем полученное число с правой частью неравенства.

Рассмотрим каждое неравенство.

а) Подставляем \(x = -2\), \(y = 3\) в выражение \(2x - 3y + 16\):

\[2\cdot(-2) - 3\cdot3 + 16 = -4 - 9 + 16 = -13 + 16 = 3.\]

Сравниваем: \(3 > 0\). Неравенство выполняется, значит пара \((-2; 3)\) является решением пункта а).

б) Подставляем в \(x^2 + 3xy - y^2\):

\[(-2)^2 + 3\cdot(-2)\cdot3 - 3^2 = 4 - 18 - 9 = 4 - 27 = -23.\]

Получили число \(-23\). Сравниваем с 20: \[ -23 < 20. \] Неравенство выполняется, пара \((-2; 3)\) — решение пункта б).

в) Подставляем в \((x + 3)^2 + (y - 4)^2\):

\[(-2 + 3)^2 + (3 - 4)^2 = 1^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2.\]

Сравниваем с 2: \(2 < 2 \) не выполняется, так как левая и правая части равны. Значит, неравенство не выполняется, и пара \((-2; 3)\) не является решением пункта в).

г) Подставляем в \((x + y)(y - 8)\):

\[(-2 + 3)(3 - 8) = 1\cdot(-5) = -5.\]

Сравниваем с 1: \[ -5 < 1. \] Неравенство выполняется, пара \((-2; 3)\) является решением пункта г).

д) Подставляем в \(x^2 + y^2 - x - y\):

\[(-2)^2 + 3^2 - (-2) - 3 = 4 + 9 + 2 - 3 = 13 - 1 = 12.\]

Сравниваем: \( 12 \ge 0. \) Неравенство выполняется, пара \((-2; 3)\) является решением пункта д).

е) Подставляем в \(3x^2 - 5y^2 + x - y\):

\[3\cdot(-2)^2 - 5\cdot3^2 + (-2) - 3 = 3\cdot4 - 5\cdot9 - 2 - 3 = 12 - 45 - 5 = -38.\]

Сравниваем: \[ -38 < 11. \] Неравенство выполняется, следовательно, пара \((-2; 3)\) является решением пункта е).

Итог: пара чисел \((-2; 3)\) является решением неравенств а), б), г), д), е) и не является решением неравенства в).