Упражнение 721 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 194

а)

\(\dfrac{x-y}{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}=\dfrac{(\sqrt{x})^2-(\sqrt{y})^2}{(\sqrt{x})^2\sqrt{y}-(\sqrt{y})^2\sqrt{x}}=\dfrac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}\sqrt{y}\sqrt{x}-\sqrt{x}\sqrt{y}\sqrt{y}}\)

\(=\dfrac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}\sqrt{y}(\sqrt{x}-\sqrt{y})}=\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}\sqrt{y}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{y}}+\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}\sqrt{y}}=\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{y}}{y}+\dfrac{\sqrt{x}}{x}\)

б)

\(\dfrac{a-b}{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}=\dfrac{(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2}{(\sqrt{a})^2\sqrt{b}+(\sqrt{b})^2\sqrt{a}}=\dfrac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}\sqrt{b}\sqrt{a}+\sqrt{a}\sqrt{b}\sqrt{b}}\)

\(=\dfrac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}=\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}\sqrt{b}}-\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}\sqrt{b}}=\dfrac{1}{\sqrt{b}}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}=\dfrac{\sqrt{b}}{b}-\dfrac{\sqrt{a}}{a}\)

Пояснения:

Используемые правила и формулы

1) Разность квадратов:

\(u^2-v^2=(u-v)(u+v)\)

2) Представление числа через корень (для \(x\ge 0\)):

\(x=(\sqrt{x})^2\)

3) Вынесение общего множителя:

\(uv-uw=u(v-w)\), \(\;uv+uw=u(v+w)\)

4) Свойство корней (для положительных \(x,y\)):

\(\sqrt{x}\sqrt{y}=\sqrt{xy}\)

а) Объяснение

Числитель \(x-y\) удобно представить как разность квадратов: \(x=(\sqrt{x})^2\), \(y=(\sqrt{y})^2\). Тогда появляется множитель \((\sqrt{x}-\sqrt{y})\).

Знаменатель \(x\sqrt{y}-y\sqrt{x}\) приводим к виду с общим множителем \(\sqrt{x}\sqrt{y}\):

\(x\sqrt{y}=(\sqrt{x})^2\sqrt{y}=\sqrt{x}\sqrt{y}\sqrt{x}\),

\(y\sqrt{x}=(\sqrt{y})^2\sqrt{x}=\sqrt{x}\sqrt{y}\sqrt{y}\),

поэтому \(x\sqrt{y}-y\sqrt{x}=\sqrt{x}\sqrt{y}(\sqrt{x}-\sqrt{y})\).

После сокращения \((\sqrt{x}-\sqrt{y})\) остаётся \(\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}\sqrt{y}}=\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{y}}{y}+\dfrac{\sqrt{x}}{x}\).

б) Объяснение

Аналогично: \(a-b=(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2=(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})\).

В знаменателе выносим \(\sqrt{a}\sqrt{b}\):

\(a\sqrt{b}=(\sqrt{a})^2\sqrt{b}=\sqrt{a}\sqrt{b}\sqrt{a}\),

\(b\sqrt{a}=(\sqrt{b})^2\sqrt{a}=\sqrt{a}\sqrt{b}\sqrt{b}\),

значит \(a\sqrt{b}+b\sqrt{a}=\sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b})\).

Сокращаем \((\sqrt{a}+\sqrt{b})\) и получаем \(\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}\sqrt{b}}=\dfrac{1}{\sqrt{b}}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}=\dfrac{\sqrt{b}}{b}-\dfrac{\sqrt{a}}{a}\).

Замечание о допустимых значениях

Чтобы все корни и дроби имели смысл, нужно \(x>0,\;y>0,\;a>0,\;b>0\), а также в пункте а) \(x\ne y\) (иначе знаменатель равен нулю).