Упражнение 718 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 193

а) \(\sqrt{50x}+\sqrt{32x}-\sqrt{98x}=\sqrt{25\cdot2x}+\sqrt{16\cdot2x}-\sqrt{49\cdot2x}=\)

\(=5\sqrt{2x}+4\sqrt{2x}-7\sqrt{2x}=2\sqrt{2x}.\)

б) \((\sqrt a+\sqrt2)(\sqrt a-\sqrt2)-(\sqrt a-\sqrt2)\sqrt a=\)

\(=(a-2)-(a-\sqrt{2a})=a-2-a+\sqrt{2a}=\sqrt{2a}-2.\)

в) \((\sqrt x+\sqrt y)^2-(\sqrt x-\sqrt y)^2=\)

\((x+2\sqrt{xy}+y)-(x-2\sqrt{xy}+y)=4\sqrt{xy}.\)

г) \((\sqrt x-\sqrt y)(x+\sqrt{xy}+y)=\)

\((\sqrt x-\sqrt y)\left((\sqrt x)^2+\sqrt x\sqrt y+(\sqrt y)^2\right)=x\sqrt x-y\sqrt y.\)

Пояснения:

Используемые формулы и свойства:

\[\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b\]

\[(a+b)(a-b)=a^2-b^2\]

\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]

\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]

\[(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\]

а)

Разлагаем числа под корнем на произведение полного квадрата и другого множителя. Затем извлекаем корни из полных квадратов и приводим подобные радикалы.

б)

Первое произведение раскрываем по формуле разности квадратов: получаем \(a-2\).

Второе произведение раскрываем распределительным законом. После вычитания приводим подобные слагаемые.

в)

Раскрываем оба квадрата по формуле квадрата суммы и квадрата разности. После вычитания сокращаются \(x\) и \(y\), остаётся только \(4\sqrt{xy}\).

г)

Замечаем формулу разности кубов:

\[(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3.\]

Здесь \(a=\sqrt x\), \(b=\sqrt y\). Тогда получаем:

\[(\sqrt x)^3-(\sqrt y)^3=x\sqrt x-y\sqrt y.\]