Вернуться к содержанию учебника
Сократите дробь:
а) \(\dfrac{5+\sqrt{y}}{5\sqrt{y}+y}\);
б) \(\dfrac{3x-6}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}\);
в) \(\dfrac{a\sqrt{a}-1}{a+\sqrt{a}+1}\);
г) \(\dfrac{b-\sqrt{b}+1}{b\sqrt{b}+1}\);
д) \(\dfrac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{xy}+y}\);
е) \(\dfrac{c-\sqrt{cd}}{c\sqrt{c}-d\sqrt{d}}\).
Введите текст
а)
\(\dfrac{5+\sqrt{y}}{5\sqrt{y}+y}=\dfrac{5+\sqrt{y}}{\sqrt{y}(5+\sqrt{y})}=\dfrac{1}{\sqrt{y}}\)
б)
\(\dfrac{3x-6}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}=\dfrac{3(x-2)}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}=\dfrac{3(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}=3(\sqrt{x}-\sqrt{2})\)
в)
\(\dfrac{a\sqrt{a}-1}{a+\sqrt{a}+1}=\dfrac{(\sqrt{a})^3-1}{(\sqrt{a})^2+\sqrt{a}+1}=\dfrac{(\sqrt{a}-1)((\sqrt{a})^2+\sqrt{a}+1)}{(\sqrt{a})^2+\sqrt{a}+1}=\sqrt{a}-1\)
г)
\(\dfrac{b-\sqrt{b}+1}{b\sqrt{b}+1}=\dfrac{(\sqrt{b})^2-\sqrt{b}+1}{(\sqrt{b})^3+1}=\dfrac{(\sqrt{b})^2-\sqrt{b}+1}{(\sqrt{b}+1)((\sqrt{b})^2-\sqrt{b}+1)}=\dfrac{1}{\sqrt{b}+1}\)
д)
\(\dfrac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{xy}+y}=\dfrac{(\sqrt{x})^3+(\sqrt{y})^3}{\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}=\dfrac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})((\sqrt{x})^2-\sqrt{x}\sqrt{y}+(\sqrt{y})^2)}{\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}\)
\(=\dfrac{x-\sqrt{xy}+y}{\sqrt{y}}\)
е)
\(\dfrac{c-\sqrt{cd}}{c\sqrt{c}-d\sqrt{d}}=\dfrac{\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{d})}{(\sqrt{c})^3-(\sqrt{d})^3}=\dfrac{\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{d})}{(\sqrt{c}-\sqrt{d})((\sqrt{c})^2+\sqrt{c}\sqrt{d}+(\sqrt{d})^2)}\)
\(=\dfrac{\sqrt{c}}{c+\sqrt{cd}+d}\)
Пояснения:
Используемые формулы и правила
1) Вынесение общего множителя:
\(ab+ac=a(b+c)\)
2) Разность квадратов:
\(u^2-v^2=(u-v)(u+v)\)
3) Сумма кубов:
\(u^3+v^3=(u+v)(u^2-uv+v^2)\)
4) Разность кубов:
\(u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2)\)
5) Сокращать можно только общие множители числителя и знаменателя.
а)
В знаменателе вынесли \(\sqrt{y}\):
\(5\sqrt{y}+y=\sqrt{y}(5+\sqrt{y})\).
После сокращения \((5+\sqrt{y})\) получили \(\dfrac{1}{\sqrt{y}}\).
б)
Разложили \(x-2=(\sqrt{x})^2-(\sqrt{2})^2=(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})\).
Сократили общий множитель \((\sqrt{x}+\sqrt{2})\).
в)
Записали \(a\sqrt{a}=(\sqrt{a})^3\).
Применили формулу разности кубов и сократили общий множитель.
г)
Записали \(b=(\sqrt{b})^2\), \(b\sqrt{b}=(\sqrt{b})^3\).
Применили формулу суммы кубов и сократили общий множитель.
д)
Записали числитель как сумму кубов:
\((\sqrt{x})^3+(\sqrt{y})^3\).
Применили формулу суммы кубов и сократили \((\sqrt{x}+\sqrt{y})\).
е)
Представили числитель и знаменатель через \(\sqrt{c}\) и \(\sqrt{d}\).
Знаменатель — разность кубов, после сокращения остался выражение \(\dfrac{\sqrt{c}}{c+\sqrt{cd}+d}\).
Вернуться к содержанию учебника