Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№720 учебника 2023-2026 (стр. 194):
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) \(\dfrac{3x}{7\sqrt{x}};\)
б) \(\dfrac{5}{\sqrt{ab}};\)
в) \(\dfrac{4}{\sqrt{c}-1};\)
г) \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}+3\sqrt{y}}.\)
№720 учебника 2014-2022 (стр. 186):
Используя цифры \(0, 2, 4, 6\), составьте все возможные трёхзначные числа, в которых цифры не повторяются.
№720 учебника 2023-2026 (стр. 194):
№720 учебника 2014-2022 (стр. 186):
Вспомните комбинаторные задачи.
№720 учебника 2023-2026 (стр. 194):
а) \(\dfrac{3x}{7\sqrt{x}}=\dfrac{3x\cdot\sqrt{x}}{7\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}}=\)
\(=\dfrac{3x\sqrt{x}}{7x}=\dfrac{3\sqrt{x}}{7}.\)
б) \(\dfrac{5}{\sqrt{ab}}=\dfrac{5\cdot\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}\cdot\sqrt{ab}}=\dfrac{5\sqrt{ab}}{ab}.\)
в) \(\small \dfrac{4}{\sqrt{c}-1}=\dfrac{4\cdot(\sqrt{c}+1)}{(\sqrt{c}-1)\cdot(\sqrt{c}+1)}=\)
\(\small =\dfrac{4\sqrt{c}+4}{(\sqrt{c}-1)(\sqrt{c}+1)}=\dfrac{4\sqrt{c}+4}{c-1}.\)
г) \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}+3\sqrt{y}}=\)
\(=\dfrac{1\cdot(2\sqrt{x}-3\sqrt{y})}{(2\sqrt{x}+3\sqrt{y})\cdot(2\sqrt{x}-3\sqrt{y})}=\)
\(=\dfrac{2\sqrt{x}-3\sqrt{y}}{(2\sqrt{x}+3\sqrt{y})(2\sqrt{x}-3\sqrt{y})}=\)
\(=\dfrac{2\sqrt{x}-3\sqrt{y}}{4x-9y}.\)
Пояснения:
Основное правило избавления от иррациональности в знаменателе дроби:
Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножают числитель и знаменатель на подходящий корень, тем самым в знаменателе получается произведение корня на себя, равное подкоренному выражению.
Свойства корня:
\(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = x\);
\(\sqrt{a}\cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}\).
При вычислении также используем формулу разности квадратов двух уравнений:
\(a^2-b^2=(a-b)(a+b).\)
№720 учебника 2014-2022 (стр. 186):
Сотни \(2\):
\(204, 206, 240, 246, 260, 264\)
Сотни \(4\):
\(402, 406, 420, 426, 460, 462\)
Сотни \(6\):
\(602, 604, 620, 624, 640, 642\)
Количество чисел:
\[ 3\cdot3\cdot2=18\]
Ответ: 18 чисел.
Пояснения:
Трёхзначное число имеет вид:
\[ abc \]
где:
\(a\) — сотни,
\(b\) — десятки,
\(c\) — единицы.
Основные правила:
1) Цифры не должны повторяться.
2) Первая цифра не может быть равна \(0\), иначе число не будет трёхзначным.
Выбор цифр:
Цифры: \(0, 2, 4, 6\).
Сначала выбираем цифру сотен:
\[ 2, 4, 6 \]
— всего 3 варианта.
После выбора сотен остаётся 3 цифры, из которых выбираем десятки:
\[ 3 \text{ варианта} \]
После этого остаётся 2 цифры для единиц:
\[ 2 \text{ варианта} \]
Общее количество:
\[ 3 \cdot 3 \cdot 2 = 18 \]
Почему так?
Каждый шаг уменьшает количество доступных цифр, так как повторять их нельзя.
Перебор по первой цифре (сотням) позволяет систематически выписать все числа и ничего не пропустить.
Ответ: \(18\) чисел.
Вернуться к содержанию учебника