Упражнение 720 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 194

а) \(\dfrac{3x}{7\sqrt{x}}\cdot\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\dfrac{3x\sqrt{x}}{7x}=\dfrac{3\sqrt{x}}{7}.\)

б) \(\dfrac{5}{\sqrt{ab}}\cdot\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}=\dfrac{5\sqrt{ab}}{ab}.\)

в) \(\dfrac{4}{\sqrt{c}-1}\cdot\dfrac{\sqrt{c}+1}{\sqrt{c}+1}=\dfrac{4(\sqrt{c}+1)}{(\sqrt{c}-1)(\sqrt{c}+1)}=\dfrac{4(\sqrt{c}+1)}{c-1}.\)

г) \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}+3\sqrt{y}}\cdot\dfrac{2\sqrt{x}-3\sqrt{y}}{2\sqrt{x}-3\sqrt{y}}=\dfrac{2\sqrt{x}-3\sqrt{y}}{(2\sqrt{x}+3\sqrt{y})(2\sqrt{x}-3\sqrt{y})}=\dfrac{2\sqrt{x}-3\sqrt{y}}{4x-9y}.\)

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

\[\dfrac{A}{\sqrt{B}}=\dfrac{A}{\sqrt{B}}\cdot\dfrac{\sqrt{B}}{\sqrt{B}}=\dfrac{A\sqrt{B}}{B}\]

\[(u-v)(u+v)=u^2-v^2\]

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, домножают числитель и знаменатель на такое выражение, которое превращает знаменатель в рациональное число.

а)

В знаменателе стоит \(\sqrt{x}\). Домножаем дробь на \(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\), тогда \(\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x\), и сокращаем \(x\).

б)

Аналогично домножаем на \(\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}\). В знаменателе получаем \(ab\), корня больше нет.

в)

Знаменатель имеет вид \(\sqrt{c}-1\). Домножаем на сопряжённое выражение \(\sqrt{c}+1\). Тогда в знаменателе получается разность квадратов:

\[(\sqrt{c}-1)(\sqrt{c}+1)=c-1.\]

г)

Знаменатель \(2\sqrt{x}+3\sqrt{y}\) — сумма двух корней. Домножаем на сопряжённое \(2\sqrt{x}-3\sqrt{y}\). В знаменателе снова разность квадратов:

\[(2\sqrt{x})^2-(3\sqrt{y})^2=4x-9y.\]