Вернуться к содержанию учебника
Упростите выражение:
а) \(\dfrac{2\cdot 3^{n+2}-5\cdot 3^{n+1}}{3^{\,n-1}}\);
б) \(\dfrac{25\cdot 4^n}{4^n-4^{\,n-1}}\);
в) \(\dfrac{10\cdot 6^n}{2^{\,n+1}\cdot 3^{\,n-1}}\);
г) \(\dfrac{2^{\,2n-1}\cdot 5^{\,2n+1}}{100^n}\).
Введите текст
а)
\(\dfrac{2\cdot 3^{n+2}-5\cdot 3^{n+1}}{3^{\,n-1}}=\dfrac{2\cdot 3\cdot 3^{n+1}-5\cdot 3^{n+1}}{3^{\,n-1}}=\dfrac{(6-5)\cdot 3^{n+1}}{3^{\,n-1}}=\dfrac{3^{n+1}}{3^{\,n-1}}=3^{(n+1)-(n-1)}=3^2=9\)
б)
\(\dfrac{25\cdot 4^n}{4^n-4^{\,n-1}}=\dfrac{25\cdot 4^n}{4^{\,n-1}\cdot 4-4^{\,n-1}}=\dfrac{25\cdot 4^n}{4^{\,n-1}(4-1)}=\dfrac{25\cdot 4^n}{3\cdot 4^{\,n-1}}=\dfrac{25\cdot 4}{3}=\dfrac{100}{3}\)
в)
\(\dfrac{10\cdot 6^n}{2^{\,n+1}\cdot 3^{\,n-1}}=\dfrac{10\cdot (2\cdot 3)^n}{2^{\,n+1}\cdot 3^{\,n-1}}=\dfrac{10\cdot 2^n\cdot 3^n}{2^{\,n+1}\cdot 3^{\,n-1}}=10\cdot 2^{n-(n+1)}\cdot 3^{n-(n-1)}=10\cdot 2^{-1}\cdot 3^1=15\)
г)
\(\dfrac{2^{\,2n-1}\cdot 5^{\,2n+1}}{100^n}=\dfrac{2^{\,2n-1}\cdot 5^{\,2n+1}}{(2^2\cdot 5^2)^n}=\dfrac{2^{\,2n-1}\cdot 5^{\,2n+1}}{2^{\,2n}\cdot 5^{\,2n}}=2^{(2n-1)-2n}\cdot 5^{(2n+1)-2n}=2^{-1}\cdot 5^1=\dfrac{5}{2}\)
Пояснения:
Используемые правила
1) Вынесение общего множителя:
\(uv-uw=u(v-w)\)
2) Свойства степеней:
\(a^{p}\cdot a^{q}=a^{p+q}\)
\(\dfrac{a^{p}}{a^{q}}=a^{p-q}\) (при \(a\neq 0\))
\((ab)^n=a^n b^n\)
3) Разложение на множители:
\(A\cdot k-B\cdot k=(A-B)k\)
а) Пояснение
В числителе вынесли общий множитель \(3^{n+1}\):
\(2\cdot 3^{n+2}=2\cdot 3\cdot 3^{n+1\!}\), поэтому числитель стал \((6-5)\cdot 3^{n+1}=3^{n+1}\).
Затем применили правило деления степеней с одинаковым основанием:
\(\dfrac{3^{n+1}}{3^{n-1}}=3^{(n+1)-(n-1)}=3^2\).
б) Пояснение
В знаменателе вынесли \(4^{n-1}\):
\(4^n-4^{n-1}=4^{n-1}(4-1)=3\cdot 4^{n-1}\).
Далее сократили \(4^{n}\) с \(4^{n-1}\):
\(\dfrac{4^n}{4^{n-1}}=4\).
в) Пояснение
Заменили \(6^n\) на \((2\cdot 3)^n=2^n3^n\), после чего отдельно сократили степени двойки и тройки:
\(\dfrac{2^n}{2^{n+1}}=2^{-1}=\dfrac12\), \(\dfrac{3^n}{3^{n-1}}=3^1=3\).
г) Пояснение
Представили \(100^n\) как \((2^2\cdot 5^2)^n=2^{2n}5^{2n}\).
После этого применили правило деления степеней:
\(\dfrac{2^{2n-1}}{2^{2n}}=2^{-1}\), \(\dfrac{5^{2n+1}}{5^{2n}}=5\), получили \(\dfrac{5}{2}\).
Вернуться к содержанию учебника