Упражнение 1110 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( \begin{cases} 2x-3>-3,\\ 2x-3 \leq 5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2x>-3+3,\\ 2x \leq 5+3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2x>0,\\ 2x \leq 8 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x>0,\\ x \leq 4 \end{cases} \)

Ответ: \(x\in(0; 4].\)

Пояснения:

Функция \(y=2x-3\) — линейная, поэтому для решения неравенства достаточно выполнить преобразования шаг за шагом:

1. Начальное условие: \\( \begin{cases} 2x-3>-3,\\ 2x-3 \leq 5 \end{cases} \)

2. Прибавили 3, чтобы убрать «-3»: получаем \( \begin{cases} 2x>-3+3,\\ 2x \leq 5+3 \end{cases} \)

3. Разделили на положительное число 2 (знак неравенства сохраняется): \( \begin{cases} x>0,\\ x \leq 4 \end{cases} \)

Таким образом, функция принимает значения, удовлетворяющие условию, при \(x \in (0;4]\).

\(54^{35} + 28^{21}\)

1) \(54\) оканчивается на 4.

\( 4^{1}=4,\quad 4^{2}=16,\)

\(4^{3}=64,\quad 4^{4}=256,\,\ldots \)

Для нечётного показателя степень заканчивается на 4, для четного - на 6.

\(35\) нечётное, значит, \(54^{35}\) оканчивается на 4.

2) \(28\) оканчивается на 8.

\( 8^{1}=8,\quad 8^{2}=64,\quad 8^{3}= ...2,\)

\(8^{4}=...6,  \quad 8^{4}=...8 \quad 8^{6}=...4,\, \ldots \)

Последние цифры повторяются с периодом:

\(8, 4, 2, 6\).

Найдём остаток от деления показателя 21 на 4:

\[ 21 : 4 = 5 \text{ (остаток }1). \]

\(8^{21}\) оканчивается на первую цифру цикла — 8.

3) \(4 + 8 = 12\),

последняя цифра — 2.

Ответ: сумма \(54^{35} + 28^{21}\) оканчивается цифрой 2.

Пояснения:

Чтобы найти последнюю цифру степени, достаточно рассматривать только последнюю цифру основания. Далее нужно выявить период повторения последних цифр для последовательных степеней. Эти периоды всегда малы (для любой цифры 0–9 период не превышает 4).

Для 4 период равен 2, для 8 — 4. После нахождения нужных последних цифр оснований при заданных показателях степени, складываем их и берём последнюю цифру результата.