Упражнение 979 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases} 0,6x + 7,2 > 0, \\ 5,2 \geq 2,6x \end{cases}\)

\(\begin{cases} 0,6x > -7,2,  / : 0,6 \\ 2,6x \leq 5,2  / : 2,6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x > -\frac{7,2}{0,6}, \\ x \leq \frac{5,2}{2,6} \end{cases}\)

\(\begin{cases} x > -\frac{72}{6}, \\ x \leq \frac{52}{26} \end{cases}\)

\(\begin{cases} x > -12, \\ x \leq 2 \end{cases}\)

Ответ: \((-12; 2]\).

б) \(\begin{cases} 1,5x + 4,5 \leq 0, \\ \tfrac{1}{9}x \geq 1  /\times9 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 1,5x \leq -4,5,   / : 1,5 \\ x \geq 9 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x \leq -\frac{4,5}{1,5}, \\ x \geq 9 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x \leq -3, \\ x \geq 9 \end{cases}\)

Ответ: решений нет.

в) \(\begin{cases} 0,2x < 3, / : 0,2 \\ \tfrac{1}{6}x > 0  /\times6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x < \frac{3}{0,2}, \\ x > 0  \end{cases}\)

\(\begin{cases} x < \frac{30}{2}, \\ x > 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x < 15, \\ x > 0  \end{cases}\)

Ответ: \((0; 15)\).

г) \(\begin{cases} 2x - 6,5 < 0, \\ \tfrac{1}{3}x < -1 /\times3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2x < 6,5, / : 2 \\ x < -3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x < \frac{6,5}{2}, \\ x < -3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x < 3,25, \\ x < -3 \end{cases}\)

Ответ: \((-\infty; -3)\).

Пояснения:

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

При решении неравенств системы используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

а) \(\dfrac{3}{b^2} = 3b^{-2}\)

б) \(\dfrac{x}{y} = xy^{-1}\)

в) \(\dfrac{2a^8}{c^5} = 2a^8c^{-5}\)

г) \(\dfrac{a^5}{7b^3} = \dfrac{1}{7}a^5b^{-3}\)

д) \(\dfrac{1}{x^2y^3} = x^{-2}y^{-3}\)

е) \(\dfrac{(a+b)^2}{b^4c^4} = (a+b)^2 \cdot b^{-4}c^{-4}\)

ж) \(\dfrac{2a}{(a-2)^2} = 2a \cdot (a-2)^{-2}\)

з) \(\dfrac{(c+b)^5}{2(a-b)^4} = \dfrac{1}{2} \cdot (c+b)^5 (a-b)^{-4}\)

Пояснения:

Основное свойство отрицательных показателей:

\[ \frac{1}{a^n} = a^{-n}, \quad \frac{a^m}{b^n} = a^m b^{-n}. \]

То есть деление на выражение можно заменить умножением на то же выражение с отрицательной степенью.