Упражнение 975 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases} x > 17, \\ x > 12 \end{cases}\)

Ответ: \((17; +\infty)\).

б) \(\begin{cases} x < 1, \\ x < 5 \end{cases}\)

Ответ: \((-\infty; 1)\).

в) \(\begin{cases} x > 0, \\ x < 6 \end{cases}\)

Ответ: \((0; 6)\)

г) \(\begin{cases} x < -3,5, \\ x > 8 \end{cases}\)

Ответ: решений нет.

д) \(\begin{cases} x \geq -1, \\ x \leq 3 \end{cases}\)

е) \(\begin{cases} x > 8, \\ x \leq 20 \end{cases}\)

Ответ: \((8; 20]\).

Пояснения:

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

а) Если \(x = \dfrac{2}{3}, \; n = -2\), то

\(x^n = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}\)

\(x^{-n} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{2} = \dfrac{4}{9}\)

б) Если \(x = -1{,}5, \; n = 3\), то

\(x^n = (-1{,}5)^3 = (-\dfrac{3}{2})^3 =\)

\(=-\dfrac{27}{8}= -3\dfrac{3}{8}\)

\(x^{-n} = (-1{,}5)^{-3} = (-\dfrac{3}{2})^{-3} = \)

\(=(-\dfrac{2}{3})^{3} = -\dfrac{8}{27} \)

Пояснения:

Основные правила:

\( a^{-n} = \frac{1}{a^n},\)

\(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n = \frac{b^n}{a^n}\).

1. Показатель со знаком «−» означает, что нужно взять обратное число к степени с положительным показателем.

2. Если основание отрицательное, знак результата зависит от чётности степени: при нечётной — минус, при чётной — плюс.

3. Для дробных оснований с отрицательными степенями выполняется обращение дроби: \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n.\)

Таким образом, каждая пара значений \(x^n\) и \(x^{-n}\) связана обратной зависимостью: одно — дробное, другое — его обратное число.