Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№510 учебника 2023-2025 (стр. 118):
Является ли квадратным уравнением:
а) \(3{,}7x^2 - 5x + 1 = 0\);
б) \(48x^2 - x^3 - 9 = 0\);
в) \(2{,}1x^2 + 2x - \tfrac{2}{3} = 0\);
г) \(x + x^2 - 1 = 0\);
д) \(7x^2 - 13 = 0\);
е) \(-x^2 = 0\).
№510 учебника 2013-2022 (стр. 116):
Упростите выражение:
а) \(\displaystyle\Bigl(\frac{1}{x+x\sqrt{y}}+\frac{1}{x-x\sqrt{y}}\Bigr)\cdot\frac{y-1}{2};\)
б) \(\displaystyle\Bigl(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\Bigr)\cdot\frac{(b-a)^2}{2}.\)
№510 учебника 2023-2025 (стр. 118):
Вспомните, какое уравнение называют квадратным.
№510 учебника 2013-2022 (стр. 116):
Вспомните:
№510 учебника 2023-2025 (стр. 118):
а) \(3{,}7x^2 - 5x + 1 = 0\) - квадратное уравнение.
б) \(48x^2 - x^3 - 9 = 0\) - не является квадратным уравнением.
в) \(2{,}1x^2 + 2x - \tfrac{2}{3} = 0\) - квадратное уравнение.
г) \(x + x^2 - 1 = 0\) - квадратное уравнение.
д) \(7x^2 - 13 = 0\) - квадратное уравнение.
е) \(-x^2 = 0\) - квадратное уравнение.
Пояснения:
Квадратное уравнение имеет общий вид
\[\;ax^2+bx+c=0,\quad a\ne0,\]
и не содержит членов старшей степени (степени >2). Проверили для каждого:
– в пунктах а, в, г, д и е старшая степень равна 2 и коэффициент при \(x^2\) ненулевой;
– в пункте б есть член \(x^3\), значит уравнение не квадратное.
№510 учебника 2013-2022 (стр. 116):
а) \(\Bigl(\frac{1}{x+x\sqrt{y}} +\frac{1}{x-x\sqrt{y}} \Bigr)\cdot\frac{y-1}{2}=-\frac{1}{x}\)
1) \(\frac{1}{x+x\sqrt{y}} +\frac{1}{x-x\sqrt{y}}=\)
\(=\frac{1}{x(1+\sqrt{y})} ^{\color{blue}{\backslash{1-\sqrt{y}}}} +\frac{1}{x(1-\sqrt{y})} ^{\color{blue}{\backslash{1+\sqrt{y}}}} =\)
\(=\frac{(1-\sqrt y)+(1+\sqrt y)}{x(1+\sqrt y)(1-\sqrt y)} =\)
\(=\frac{1-\cancel{\sqrt y}+1+\cancel{\sqrt y}}{x(1^2-(\sqrt y)^2)}=\frac{2}{x(1-y)}. \)
2) \( \frac{2}{x(1-y)}\cdot\frac{y-1}{2} =\)
\(=\frac{\cancel2\cancel{(y-1)}}{-x\cancel{(y-1)}\cdot\cancel2}=-\frac{1}{x}. \)
б)\(\displaystyle\Bigl(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\Bigr)\cdot\frac{(b-a)^2}{2}=\sqrt{ab}\,(a-b)\)
1) \( \frac{\sqrt a}{\sqrt a-\sqrt b} ^{\color{blue}{\backslash{\sqrt a+\sqrt b}}} -\frac{\sqrt a}{\sqrt a+\sqrt b} ^{\color{blue}{\backslash{\sqrt a-\sqrt b}}} =\)
\(=\frac{\sqrt a(\sqrt a+\sqrt b)-\sqrt a(\sqrt a-\sqrt b)}{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)} =\)
\(=\frac{\cancel a+\sqrt {ab}-\cancel a+\sqrt {ab}}{(\sqrt a)^2-(\sqrt b)^2} =\frac{2\sqrt{ab}}{a-b}. \)
2) \( \frac{2\sqrt{ab}}{a-b}\cdot\frac{(b-a)^2}{2} =\)
\(=\frac{\cancel{2}\sqrt{ab}\,(a-b)^{\cancel2}}{\cancel{(a-b)}\cdot\cancel2} =\sqrt{ab}\,(a-b). \)
Пояснения:
Использованные приёмы и формулы:
1. Сумма дробей:
\(\frac1{a}+\frac1{b}=\frac{b+a}{ab}\).
2. Разность дробей:
\(\frac1a-\frac1b=\frac{b-a}{ab}\).
3. Разность квадратов:
\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).
4. Свойства корня:
\((\sqrt a)^2 = a\);
\(\sqrt a\cdot\sqrt b = \sqrt {ab}\).
5. Распределительное свойство умножения:
\(a(b + c) = ab + ac\).
6. Противоположные выражения:
\(a - b = -(b - a)\);
\((a-b)^2 = (b-a)^2\).
7. Сокращение дробей:
\(\frac{ka}{kb} = \frac ab\).
Вернуться к содержанию учебника