Упражнение 508 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

1) \(y = \sqrt{x}\)

\(x \ge 0\)

2) \(y = \sqrt{x} - 3\)

\(x \ge 0\)

3) \(y = \sqrt{x} + 3\)

\(x \ge 0\)

4) \(y = \sqrt{x - 3}\)

\(x - 3 \ge 0\)

\(x \ge 3\)

5) \(y = \sqrt{x + 3}\)

\(x + 3 \ge 0\)

\(x \ge -3\)

Пояснения:

При построении графиков учитываем область определения функции: корень существует только в том случае, когда подкоренное выражение неотрицательно.

В каждом случае графиком является ветвь параболы. Строим по точкам, учитывая область определения функции. Подбираем такие значения \(x\), чтобы корень можно было извлечь.

\(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2},\quad x\ge0,\;x\ne2. \)

\(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2} =\)

\(=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})}{(x-2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})} =\)

\(=\frac{(\sqrt{x})^2-(\sqrt{2})^2}{(x-2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})} =\)

\(=\frac{\cancel{x-2}}{\cancel{(x-2)}(\sqrt{x}+\sqrt{2})} =\)

\(=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}. \)

Наибольшее значение дробь принимает при \(x=0\).

Ответ: \(x=0\).

Пояснения:

1. Область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным и знаменатель должен быть отличен от нуля, то есть  \(x\ge0\), \(x\ne2\)

2. Умножили числитель и знаменатель на \(\sqrt{x}+\sqrt2\), чтобы избавиться от иррациональности в числителе.

Свойство корня:

\((\sqrt{x})^2 = x\).

3. Сократили одинаковый множитель в числителе и знаменателе полученной дроби:

\(\frac{ka}{kb} = \frac{a}{b}\).

4. После упрощения получили дробь \(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}},\) которая принимает наибольшее значение при наименьшем знаменателе, а знаменатель будет наименьшим при \(x = 0\).