Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№491 учебника 2023-2025 (стр. 112):
Докажите, что значения выражений
\(\sqrt{7+4\sqrt3}+\sqrt{7-4\sqrt3}\) и
\(\sqrt{7+4\sqrt3}\,\cdot\sqrt{7-4\sqrt3}\)
являются натуральными числами.
№491 учебника 2013-2022 (стр. 113):
Сравните числа:
а) \(0{,}2\sqrt{200}\) и \(10\sqrt{8}\);
б) \(7\sqrt{\frac{32}{49}}\) и \(0{,}8\sqrt{50}\);
в) \(0{,}5\sqrt{108}\) и \(9\sqrt{3}\);
г) \(\frac{5}{2}\sqrt{63}\) и \(4{,}5\sqrt{28}\).
№491 учебника 2023-2025 (стр. 112):
Вспомните:
№491 учебника 2013-2022 (стр. 113):
Вспомните:
№491 учебника 2023-2025 (стр. 112):
1) \( \sqrt{7+4\sqrt3}+\sqrt{7-4\sqrt3} =\)
\( =\sqrt{4+4\sqrt3 + 3} +\sqrt{4-4\sqrt3 + 3} =\)
\( =\sqrt{2^2+2\cdot2\cdot\sqrt3 + (\sqrt3)^2} +\sqrt{2^2-2\cdot2\cdot\sqrt3 + (\sqrt3)^2} =\)
\(=\sqrt{(\,2+\sqrt3\,)^2} + \sqrt{(\,2-\sqrt3\,)^2} =\)
\(=|2+\sqrt3|+|2-\sqrt3| = \)
\(=2+\cancel{\sqrt3}+2-\cancel{\sqrt3} =4 \) - натуральное число.
2) \( \sqrt{7+4\sqrt3}\,\cdot\sqrt{7-4\sqrt3} =\)
\( =\sqrt{4+4\sqrt3 + 3} \cdot\sqrt{4-4\sqrt3 + 3} =\)
\( =\sqrt{2^2+2\cdot2\cdot\sqrt3 + (\sqrt3)^2} \cdot\sqrt{2^2-2\cdot2\cdot\sqrt3 + (\sqrt3)^2} =\)
\(=\sqrt{(\,2+\sqrt3\,)^2}\cdot\sqrt{(\,2-\sqrt3\,)^2} =\)
\(=|2+\sqrt3|\cdot|2-\sqrt3| =\)
\(=(2+\sqrt3)(2-\sqrt3) =\)
\(=2^2 - (\sqrt3)^2=4-3 =1\) - натуральное число.
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
1. Квадрат суммы:
\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
2. Квадрат разности:
\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
3. Свойства корня:
\((\sqrt{x})^2 = x\);
\(\sqrt{a^2}=|a|=a\) при \(a\ge0\);
\(\sqrt{a^2}=|a|=-a\) при \(a\le0\).
При раскрытии модуля в рассматриваемых случаях учитываем то, что \( 2>\sqrt3\).
4. Разность квадратов:
\((a - b)(a+b) = a^2 - b^2\).
№491 учебника 2013-2022 (стр. 113):
а) \(0{,}2\sqrt{200} < 10\sqrt{8}\)
\( \sqrt{0{,}2^2\cdot200} < \sqrt{10^2\cdot8} \)
\(\sqrt{0{,}04\cdot200} < \sqrt{100\cdot8}\)
\(\sqrt{8} < \sqrt{800}.\)
б) \(7\sqrt{\frac{32}{49}} = 0{,}8\sqrt{50}\)
\(\sqrt{7^2\cdot\frac{32}{49}} =\sqrt{0{,}8^2\cdot50}\)
\(\sqrt{\frac{\cancel{49}\cdot32}{\cancel{49}}} = \sqrt{0{,}64\cdot50}\)
\(\sqrt{32}=\sqrt{32}\)
в) \(0{,}5\sqrt{108} < 9\sqrt{3}\)
\(\sqrt{0{,}5^2\cdot108} < \sqrt{9^2\cdot3}\)
\(\sqrt{0{,}25\cdot108} < \sqrt{81\cdot3} \)
\(\sqrt{27} < \sqrt{243}.\)
г) \( \frac{5}{2}\sqrt{63} < 4{,}5\sqrt{28}\)
\( 2,5\sqrt{63} < 4{,}5\sqrt{28}\)
\(\sqrt{2,5^2\cdot63} < \sqrt{4{,}5^2\cdot28}\)
\(\sqrt{6,25\cdot63} < \sqrt{20{,}25\cdot28}\)
\(\sqrt{393,75} < \sqrt{567}\)
|
|
Пояснения:
Используемые приемы:
- Сравнение корней:
\(\sqrt{a} > \sqrt{b}\), если \(a > b\).
- Внесение множителя под знак корня:
\( k\sqrt{a} = \sqrt{k^2\,a}. \)
Вернуться к содержанию учебника