Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№448 учебника 2023-2025 (стр. 107):
Известно, что числа \(a\) и \(b\) целые. Является ли целым число:
а) \(a + b\);
б) \(a - b\);
в) \(a b\);
г) \(\displaystyle \frac{a}{b}\) (где \(b \neq 0\))?
№448 учебника 2013-2022 (стр. 108):
Является ли рациональным или иррациональным числом значение выражения:
а) \(\displaystyle \sqrt{13 + 4\sqrt{3}}\;-\;\sqrt{13 - 4\sqrt{3}};\)
б) \(\displaystyle \sqrt{19 - 2\sqrt{34}}\;+\;\sqrt{19 + 2\sqrt{34}}?\)
№448 учебника 2023-2025 (стр. 107):
Вспомните:
№448 учебника 2013-2022 (стр. 108):
Вспомните:
№448 учебника 2023-2025 (стр. 107):
1) \(a + b\) — целое число.
2) \(a - b\) — целое число.
3) \(a b\) — целое число.
4) \( \frac{a}{b}\) — целое число только если \(a\) кратно \(b\).
Пояснения:
Сумма, разность и произведение целых чисел всегда является целым числом, то есть множество целых чисел замкнуто относительно операций сложения, вычитания и умножения.
Частное целых чисел будет целым числом только тогда, когда числитель делится нацело на знаменатель, то есть множество целых чисел не замкнуто относительно операции деления.
№448 учебника 2013-2022 (стр. 108):
а) \(\displaystyle \sqrt{13 + 4\sqrt{3}}\;-\;\sqrt{13 - 4\sqrt{3}}\) - рациональное число.
\( \bigl(\sqrt{13 + 4\sqrt{3}} - \sqrt{13 - 4\sqrt{3}}\bigr)^2 =\)
\(=\bigl(\sqrt{13 + 4\sqrt{3}}\bigr)^2 - 2\sqrt{(13 + 4\sqrt{3})}\sqrt{(13 - 4\sqrt{3})}+\bigl(\sqrt{13 - 4\sqrt{3}}\bigr)^2= \)
\(=13 + \cancel{4\sqrt{3}} - 2\sqrt{(13 + 4\sqrt{3})(13 - 4\sqrt{3})}+13 - \cancel{4\sqrt{3}}= \)
\(=26 - 2\sqrt{(13^2 - (4\sqrt{3})^2}= \)
\(=26 - 2\sqrt{169 - 16\cdot3}= \)
\(=26 - 2\sqrt{169 - 48}= \)
\(=26 - 2\sqrt{121}=26-2\cdot11 =\)
\(=26 - 22 = 4 \)
\(\sqrt4 = 2\) - рациональное число.
б) \( \sqrt{19 - 2\sqrt{34}}\;+\;\sqrt{19 + 2\sqrt{34}}\) - иррациональное число.
\( \bigl(\sqrt{19 - 2\sqrt{34}} + \sqrt{19 + 2\sqrt{34}}\bigr)^2 =\)
\(=\bigl(\sqrt{19 - 2\sqrt{34}}\bigr)^2 + 2\sqrt{(19 - 2\sqrt{34})}\sqrt{(19 + 2\sqrt{34})}+ \bigl(\sqrt{19 + 2\sqrt{34}}\bigr)^2= \)
\(=19 - \cancel{2\sqrt{34}} + 2\sqrt{(19 - 2\sqrt{34})(19 + 2\sqrt{34})}+ 19 + \cancel{2\sqrt{34}}= \)
\(=38 + 2\sqrt{19^2 - (2\sqrt{34})^2}= \)
\(=38 + 2\sqrt{361 - 4\cdot34}= \)
\(=38 + 2\sqrt{361 - 136}= \)
\(=38 + 2\sqrt{225}=38 + 2\cdot15= \)
\(=38 + 30 = 68\)
\(\sqrt{68} = \sqrt{4\cdot17} = 2\sqrt{17}\) - иррациональное число.
Пояснения:
Использованные формулы и приемы:
1. Чтобы исследовать рациональным или иррациональным числом являются данные выражения, удобно вычислить его квадрат и затем извлечь корень из полученного выражения.
2. Формула квадрата суммы и квадрата разности:
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);
\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
3. Разность квадратов:
\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\).
4. Если \(a = x^2\), то \(x = \sqrt{a}\).
5. Свойства корня:
\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\);
\((\sqrt{a})^2 = a\).
6. Свойство степени:
\((ab)^n =a^nb^n\).
Вернуться к содержанию учебника