Упражнение 437 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \sqrt{6 + 2\sqrt{5}} =\sqrt{5 + 2\sqrt{5}+1}=\)

\(=\sqrt{(\sqrt{5})^2 + 2\cdot\sqrt{5}\cdot1+1^2}=\)

\(=\sqrt{(\sqrt{5} + 1)^2} = |\sqrt{5} + 1| = \)

\(=\sqrt{5} + 1. \)

б) \( \sqrt{11 - 4\sqrt{7}}=\sqrt{7 - 4\sqrt{7} + 4} =\)

\(=\sqrt{(\sqrt7)^2 - 2\cdot\sqrt{7}\cdot2 + 2^2} =\)

\(=\sqrt{(\sqrt{7} - 2)^2} = |\sqrt{7} - 2|=\)

\(=\sqrt{7} - 2. \)

Пояснения:

Использованные формулы:

– Квадрат суммы:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\)

– Квадрат разности:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\)

– Свойства корня:

\((\sqrt{x})^2 = x\);

\(\sqrt{x^2} = |x| = x\), если \(x\geqslant0\);

\(\sqrt{x^2} = |x| = -x\), если \(x\leqslant0\).

а) \(\sqrt{\frac{3}{5}} = 0,2\sqrt{15};\)

\(  \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} =0,2\sqrt{15}\)

\(\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} =0,2\sqrt{15}\)

\(\frac{\sqrt{15}}{5} = 0,2\sqrt{15}\)

\(\frac{1}{5}\sqrt{15} = 0,2\sqrt{15} \)

\(0,2\sqrt{15} = 0,2\sqrt{15}\)

Что и требовалось доказать.

б) \(\displaystyle \sqrt{\frac{2}{a}} = \frac{1}{a}\sqrt{2a}\)

\(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{a}} =\frac{1}{a}\sqrt{2a}\)

\(\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{a}}{\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}} =\frac{1}{a}\sqrt{2a}\)

\(\frac{\sqrt{2a}}{a} = \frac{1}{a}\,\sqrt{2a} \)

\( \frac{1}{a}\,\sqrt{2a} = \frac{1}{a}\,\sqrt{2a}\)

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Использованные правила:

1. Свойство корня из дроби:

\(\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.\)

2. В левой части каждого равенства избавились от иррациональности в знаменателе, для этого домножили дроби на такой корень, чтобы в знаменателе получилось произведение корня на себя, равное подкоренному выражению.

3. Свойство произведения одинаковых корней:

\(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = x\).

4. Свойство произведения корней:

\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}.\)