Упражнение 432 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

1) \( 6 - \sqrt{12} = 6 - \sqrt{4\cdot3} = 6 - 2\sqrt{3}.\)

2) \( \sqrt{80} - 5\sqrt{3} =\sqrt{16\cdot5} - 5\sqrt{3}= \)

\(=4\sqrt{5} - 5\sqrt{3}.\)

3) \( \sqrt{75} - 4\sqrt{5} =\sqrt{25\cdot3} - 4\sqrt{5}=\)

\(=5\sqrt{3} - 4\sqrt{5}= -(4\sqrt{5}-5\sqrt{3}).\)

4) \( \frac{1}{\sqrt{675} - \sqrt{32}} =\)

\(=\frac{1}{\sqrt{225\cdot3} - \sqrt{16\cdot2}}=\)

\(=\frac{1}{15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}} \)

Взаимно обратные числа:

\( 15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}\) и \( \frac{1}{\sqrt{675} - \sqrt{32}} \).

– Противоположные числа:

\( \sqrt{80} - 5\sqrt{3} \) и \( \sqrt{75} - 4\sqrt{5} \).

Пояснения:

Взаимно обратные числа - это числа вида \(x\) и \(\frac1x\), их произведение всегда равно единице.

Противоположные числа - это числа вида \(x\) и \(-x\), их сумма всегда равна нулю.

Чтобы определить пару взаимно обратных чисел и пару противоположных чисел, преобразовали данные выражения, используя следующие приемы:

- вынесение множителя из под знака корня: чтобы вынести множитель из-под корня, раскладываем подкоренное выражение на произведение, и извлекаем корень из тех множителей, которые являются квадратом какого-либо числа, учитывая свойство корня:

\(\sqrt{a\,b} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}.\)

- противоположные выражения:

\(a - b = -(b-a)\).

а) \(\frac{m}{\sqrt{x}}= \frac{m\cdot\sqrt{x}}{\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}} = \frac{m\sqrt{x}}{x}.\)

б) \(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.\)

в) \(\frac{3}{5\sqrt{c}}= \frac{3\cdot\sqrt{c}}{5\sqrt{c}\cdot\sqrt{c}} = \frac{3\sqrt{c}}{5c}.\)

г) \(\frac{a}{2\sqrt{3}}= \frac{a\cdot\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}= \frac{a\sqrt{3}}{2\cdot3}=\)

\(=\frac{a\sqrt{3}}{6}.\)

д) \(\frac{3}{2\sqrt{3}}= \frac{3\cdot\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \frac{\cancel{3}\sqrt{3}}{2\cdot\cancel{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.\)

е) \( \frac{5}{4\sqrt{15}}= \frac{5\cdot\sqrt{15}}{4\sqrt{15}\cdot\sqrt{15}} = \frac{^1\cancel{5}\sqrt{15}}{4\cdot\cancel{15}_3} =\)

\(=\frac{\sqrt{15}}{12}.\)

Пояснения:

Основное правило избавления от иррациональности в знаменателе дроби:

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножают числитель и знаменатель на подходящий корень, тем самым в знаменателе получается произведение корня на себя, равное подкоренному выражению.

Свойство корня:

\(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = x\).