Упражнение 426 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\frac{4}{\sqrt{3}+1}= \frac{4\cdot\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)\cdot(\sqrt{3}-1)} =\)

\(=\frac{4\cdot\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3})^2-1^2}=\frac{4(\sqrt{3}-1)}{3-1} =\)

\(=\frac{^2\cancel{4}(\sqrt{3}-1)}{\cancel{2}_1} = 2(\sqrt{3}-1).\)

б) \(\frac{1}{1-\sqrt{2}}= \frac{1\cdot(1+\sqrt{2})}{(1-\sqrt{2})\cdot(1+\sqrt{2})} =\)

\(=\frac{1\cdot(1+\sqrt{2})}{1^2-(\sqrt{2})^2}=\frac{1+\sqrt{2}}{1-2} =\)

\(=\frac{1+\sqrt{2}}{-1} =-\,(1+\sqrt{2}) =\)

\(=-1 - \sqrt{2}.\)

в) \(\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\)

\(=\frac{1\cdot(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})\cdot(\sqrt{x}+\sqrt{y})} =\)

\(=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{(\sqrt{x})^2-(\sqrt{y})^2}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y}.\)

г) \(\frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\)

\(=\frac{a\cdot(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot(\sqrt{a}-\sqrt{b})}=\)

\(=\frac{a(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2}=\frac{a(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a - b} .\)

д) \(\frac{33}{7-3\sqrt{3}}= \frac{33\cdot(7+3\sqrt{3})}{(7-3\sqrt{3})\cdot(7+3\sqrt{3})}=\)

\(=\frac{33(7+3\sqrt{3})}{7^2-(3\sqrt{3})^2}=\frac{33(7+3\sqrt{3})}{49-9\cdot3} =\)

\(=\frac{33(7+3\sqrt{3})}{49-27} =\frac{^3\cancel{33}(7+3\sqrt{3})}{\cancel{22}_2}=\)

\( = \frac{3(7+3\sqrt{3})}{2}.\)

е) \(\frac{15}{2\sqrt{5}+5}= \frac{15\cdot(2\sqrt{5}-5)}{(2\sqrt{5}+5)\cdot(2\sqrt{5}-5)} =\)

\(=\frac{15(2\sqrt{5}-5)}{(2\sqrt{5})^2-5^2}=\frac{15(2\sqrt{5}-5)}{4\cdot5-25} =\)

\(=\frac{15(2\sqrt{5}-5)}{20-25}=\frac{^3\cancel{15}(2\sqrt{5}-5)}{-\cancel{5}_1} = \)

\(=-3(2\sqrt{5}-5) =3(5-2\sqrt{5}) .\)

Пояснения:

Чтобы избавиться от корней в знаменателе, умножают числитель и знаменатель на такое выражение, которое вместе с выражением, стоящим в знаменателе, образует разность квадратов:

\((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\);

\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\).

Свойство корня:

\((\sqrt{x})^2 = x\).

Противоположные выражения:

\(a - b = - (b-a)\).

Свойство степени:

\(a^nb^n = (ab)^n\).

Сокращение дробей:

\(\frac{ka}{kb} = \frac{a}{b}\).

а) \((\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1) =\)

\(=(\sqrt{x})^2 - 1^2 = x - 1.\)

б) \((\sqrt{x} - \sqrt{a})(\sqrt{x} + \sqrt{a}) =\)

\(=(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{a})^2 = x - a.\)

в) \((\sqrt{m} + \sqrt{2})^2 =\)

\(=(\sqrt{m})^2 + 2\cdot\sqrt{m}\cdot\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 =\)

\(=m + 2\sqrt{2m} + 2.\)

г) \((\sqrt{3} - \sqrt{x})^2 =\)

\(=(\sqrt{3})^2 - 2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{x} + (\sqrt{x})^2 = \)

\(=3 - 2\sqrt{3x} + x.\)

д) \((5\sqrt{7} - 13)(5\sqrt{7} + 13) =\)

\(=(5\sqrt{7})^2 - 13^2 = 25\cdot7 - 169 =\)

\(=175 - 169 = 6.\)

е) \((2\sqrt{2} + 3\sqrt{3})(2\sqrt{2} - 3\sqrt{3}) =\)

\(=(2\sqrt{2})^2 - (3\sqrt{3})^2 =4\cdot2 - 9\cdot3= \)

\(= 8 - 27 = -19.\)

ж) \((6 - \sqrt{2})^2 + 3\sqrt{32} =\)

\(=(6^2 - 2\cdot6\cdot\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) + 3\sqrt{16\cdot2} =\)

\(=36 - 12\sqrt{2} + 2 + 3\cdot4\sqrt{2} = \)

\(=38 - \cancel{12\sqrt{2}} + \cancel{12\sqrt{2}} = 38.\)

з) \((\sqrt{2} + \sqrt{18})^2 - 30 =\)

\(=((\sqrt{2})^2+ 2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{18} + (\sqrt{18})^2) - 30 =\)

\(=2 + 2\sqrt{36} + 18 - 30 =\)

\(=2\cdot6 - 10 = 12 - 10 = 2.\)

Пояснения:

Использованные формулы и приемы:

– Формула разности квадратов:

\( (a+b)(a-b)=a^2-b^2. \)

– Формулы квадрата суммы и квадрата разности:

\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

\( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

– Свойства корня:

\((\sqrt{a})^2 = a\);

\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}\).

– Квадрат произведения:

\(\bigl(k\sqrt{a}\bigr)^2 = k^2a\).