Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№423 учебника 2023-2025 (стр. 101):
Сократите дробь:
а) \(\displaystyle \frac{x^2 - 2}{x + \sqrt{2}}\);
б) \(\displaystyle \frac{\sqrt{5} - a}{5 - a^2}\);
в) \(\displaystyle \frac{\sqrt{x} - 5}{25 - x}\);
г) \(\displaystyle \frac{\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2}}\);
д) \(\displaystyle \frac{5 + \sqrt{10}}{\sqrt{10}}\);
е) \(\displaystyle \frac{2\sqrt{3} - 3}{5\sqrt{3}}\).
№423 учебника 2013-2022 (стр. 102):
Выполните действия, используя формулы сокращённого умножения:
а) \((x + \sqrt y)\,(x - \sqrt y)\);
б) \((\sqrt a - \sqrt b)\,(\sqrt a + \sqrt b)\);
в) \((\sqrt{11} - 3)\,(\sqrt{11} + 3)\);
г) \((\sqrt{10} + \sqrt{7})\,(\sqrt{7} - \sqrt{10})\);
д) \((\sqrt a + \sqrt b)^2\);
е) \((\sqrt m - \sqrt n)^2\);
ж) \((\sqrt{2} + 3)^2\);
з) \((\sqrt{5} - \sqrt{2})^2\).
№423 учебника 2023-2025 (стр. 101):
Вспомните:
№423 учебника 2013-2022 (стр. 102):
Вспомните:
№423 учебника 2023-2025 (стр. 101):
а) \(\frac{x^2 - 2}{x + \sqrt{2}}=\frac{x^2 - (\sqrt{2})^2}{x + \sqrt{2}}=\)
\(=\frac{(x - \sqrt{2})\cancel{(x + \sqrt{2})}}{\cancel{x + \sqrt{2}}} = x - \sqrt{2}.\)
б) \(\frac{\sqrt{5} - a}{5 - a^2}=\frac{\sqrt{5} - a}{(\sqrt{5})^2 - a^2}= \)
\(=\frac{\cancel{\sqrt{5} - a}}{\cancel{(\sqrt{5} - a)}(\sqrt{5} + a)} = \frac{1}{\sqrt{5} + a}.\)
в) \(\frac{\sqrt{x} - 5}{25 - x}=\frac{-(5 - \sqrt{x})}{25 - (\sqrt{x})^2}=\)
\(=-\frac{\cancel{5 - \sqrt{x}}}{\cancel{(5 - \sqrt{x})}(5 + \sqrt{x})} =\)
\(=-\frac{1}{5 + \sqrt{x}}.\)
г) \(\frac{\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{\sqrt{2}}=\)
\(=\frac{\cancel{\sqrt{2}}\cdot(1 + \sqrt{2})}{\cancel{\sqrt{2}}}= 1 + \sqrt{2}.\)
д) \(\frac{5 + \sqrt{10}}{\sqrt{10}}=\frac{(\sqrt{5})^2 + \sqrt{2}\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\)
\(=\frac{\cancel{\sqrt{5}}(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{\sqrt{2}\cdot\cancel{\sqrt{5}}}=\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
е) \( \frac{2\sqrt{3} - 3}{5\sqrt{3}}= \frac{2\sqrt{3} - (\sqrt{3})^2}{5\sqrt{3}} =\)
\(=\frac{\cancel{\sqrt{3}}(2 - \sqrt{3})}{5\cancel{\sqrt{3}}}=\frac{2 - \sqrt{3}}{5} \)
Пояснения:
Основные используемые формулы:
– Во всех случаях мы обнаружили в числителе и знаменателе общий множитель и сократили его:
\(\frac{ka}{kb} = \frac{a}{b}\).
– Формула разности квадратов:
\( (a+b)(a-b)=a^2-b^2. \)
– Вынесение общего множителя за скобки:
\(a\sqrt{x} + (\sqrt{x})^2 = \sqrt{x}(a+\sqrt{x})\).
– Свойства корня:
\((\sqrt{a})^2 = a\).
– Свойства степени:
\((a^nb^n = (ab)^n\).
Противоположные выражения:
\(a - b = -(b - a)\).
№423 учебника 2013-2022 (стр. 102):
а) \((x + \sqrt y)(x - \sqrt y) = \)
\(=x^2 - (\sqrt y)^2 = x^2 - y.\)
б) \((\sqrt a - \sqrt b)(\sqrt a + \sqrt b) =\)
\(=(\sqrt a)^2 - (\sqrt b)^2 = a - b.\)
в) \((\sqrt{11} - 3)(\sqrt{11} + 3) =\)
\(=(\sqrt{11})^2 - 3^2 = 11 - 9 = 2.\)
г) \((\sqrt{10} + \sqrt{7})(\sqrt{7} - \sqrt{10}) =\)
\(=(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{10})^2 = 7 - 10 = -3.\)
д) \((\sqrt a + \sqrt b)^2 =\)
\(=(\sqrt a)^2 + 2\cdot\sqrt a\cdot\sqrt b + (\sqrt b)^2 =\)
\(=a + 2\sqrt{ab} + b.\)
е) \((\sqrt m - \sqrt n)^2 =\)
\(=(\sqrt m)^2 - 2\cdot\sqrt m\cdot\sqrt n + (\sqrt n)^2 =\)
\(=m - 2\sqrt{mn} + n.\)
ж) \((\sqrt{2} + 3)^2 =\)
\(=(\sqrt2)^2 + 2\cdot\sqrt2\cdot3 + 3^2 =\)
\(=2 + 6\sqrt2 + 9 = 11 + 6\sqrt2.\)
з) \((\sqrt{5} - \sqrt{2})^2 =\)
\(=(\sqrt5)^2 - 2\cdot\sqrt5\cdot\sqrt2 + (\sqrt2)^2 =\)
\(=5 - 2\sqrt{10} + 2 = 7 - 2\sqrt{10}.\)
Пояснения:
Использованные формулы и приемы:
– Формула разности квадратов:
\( (a+b)(a-b)=a^2-b^2. \)
– Формулы квадрата суммы и квадрата разности:
\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);
\( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
– Свойства корня:
\((\sqrt{a})^2 = a\);
\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}\).
Вернуться к содержанию учебника