Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№422 учебника 2023-2025 (стр. 101):
Сократите дробь:
а) \(\displaystyle\frac{b^2 - 5}{\,b - \sqrt5\,};\)
б) \(\displaystyle\frac{m + \sqrt6}{\,6 - m^2\,};\)
в) \(\displaystyle\frac{2 - \sqrt{x}}{\,x - 4\,};\)
г) \(\displaystyle\frac{b - 9}{\,\sqrt b + 3\,};\)
д) \(\displaystyle\frac{a - b}{\,\sqrt b + \sqrt a\,};\)
е) \(\displaystyle\frac{2\sqrt x - 3\sqrt y}{\,4x - 9y\,}.\)
№422 учебника 2013-2022 (стр. 102):
Упростите выражение:
а) \(\sqrt{8p} - \sqrt{2p} + \sqrt{18p};\)
б) \(\sqrt{160c} + 2\sqrt{40c} - 3\sqrt{90c};\)
в) \(5\sqrt{27m} - 4\sqrt{48m} - 2\sqrt{12m};\)
г) \(\sqrt{54} - \sqrt{24} + \sqrt{150};\)
д) \(3\sqrt{2} + \sqrt{32} - \sqrt{200};\)
е) \(2\sqrt{72} - \sqrt{50} - 2\sqrt{8}.\)
№422 учебника 2023-2025 (стр. 101):
Вспомните:
№422 учебника 2013-2022 (стр. 102):
Вспомните:
№422 учебника 2023-2025 (стр. 101):
а) \(\frac{b^2 - 5}{b - \sqrt5} =\frac{b^2 - (\sqrt{5})^2}{b - \sqrt5}=\)
\(=\frac{\cancel{(b-\sqrt5)}(b+\sqrt5)}{\cancel{b-\sqrt5}} = b + \sqrt5.\)
б) \(\frac{m + \sqrt6}{6 - m^2} = \frac{\sqrt6+m}{(\sqrt6)^2-m^2} =\)
\(=\frac{\cancel{\sqrt6+m}}{(\sqrt6-m)\cancel{(\sqrt6+m)}} = \frac{1}{\sqrt6 - m}.\)
в) \(\frac{2 - \sqrt{x}}{x - 4} =\frac{-(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x})^2-2^2} =\)
\(=-\frac{\cancel{\sqrt{x}-2}}{\cancel{(\sqrt{x}-2)}(\sqrt{x}+2)} =\)
\(=-\frac{1}{\sqrt{x}+2}.\)
г) \(\frac{b - 9}{\sqrt b + 3} =\frac{(\sqrt{b})^2 - 3^2}{\sqrt b + 3}=\)
\(=\frac{(\sqrt b - 3)\cancel{(\sqrt b + 3)}}{\cancel{\sqrt b + 3}} = \sqrt b - 3.\)
д) \(\frac{a - b}{\sqrt b + \sqrt a} =\frac{(\sqrt a)^2 - (\sqrt b)^2}{\sqrt a + \sqrt b}=\)
\(=\frac{(\sqrt a - \sqrt b)\cancel{(\sqrt a + \sqrt b)}}{\cancel{\sqrt b + \sqrt a}} = \)
\(=\sqrt a - \sqrt b.\)
е) \(\frac{2\sqrt x - 3\sqrt y}{4x - 9y} =\)
\(=\frac{2\sqrt x - 3\sqrt y}{(2\sqrt x)^2 - (3\sqrt y)^2}=\)
\(=\frac{\cancel{2\sqrt x - 3\sqrt y}}{\cancel{(2\sqrt x - 3\sqrt y)}(2\sqrt x + 3\sqrt y)} =\)
\(=\frac{1}{2\sqrt x + 3\sqrt y}.\)
Пояснения:
– Во всех случаях мы обнаружили в числителе и знаменателе общий множитель и сократили его:
\(\frac{ka}{kb} = \frac{a}{b}\).
– Формула разности квадратов:
\( (a+b)(a-b)=a^2-b^2. \)
– Свойства корня:
\((\sqrt{a})^2 = a\).
– Свойства степени:
\((a^nb^n = (ab)^n\).
Противоположные выражения:
\(a - b = -(b - a)\).
№422 учебника 2013-2022 (стр. 102):
а) \(\sqrt{8p} - \sqrt{2p} + \sqrt{18p}=\)
\(=\sqrt{4\cdot2p} - \sqrt{2p} + \sqrt{9\cdot2p}=\)
\(=2\sqrt{2p} - \sqrt{2p} + 3\sqrt{2p}=\)
\(= (2 - 1 + 3)\sqrt{2p} = 4\sqrt{2p}. \)
б) \(\sqrt{160c} + 2\sqrt{40c} - 3\sqrt{90c}=\)
\(=\sqrt{16\cdot10c} + 2\sqrt{4\cdot10c} - 3\sqrt{9\cdot10c}=\)
\(=4\sqrt{10c} + 2\cdot2\sqrt{10c} - 3\cdot3\sqrt{10c}=\)
\(= (4 + 4 - 9)\sqrt{10c} = -\sqrt{10c}. \)
в) \(5\sqrt{27m} - 4\sqrt{48m} - 2\sqrt{12m}=\)
\(=5\sqrt{9\cdot3m} - 4\sqrt{16\cdot3m} - 2\sqrt{4\cdot3m}=\)
\(=5\cdot3\sqrt{3m} - 4\cdot4\sqrt{3m} - 2\cdot2\sqrt{3m}=\)
\(=15\sqrt{3m} - 16\sqrt{3m} - 4\sqrt{3m}=\)
\(=(15 - 16 - 4)\sqrt{3m}=-5\sqrt{3m}.\)
г) \(\sqrt{54} - \sqrt{24} + \sqrt{150}=\)
\(=\sqrt{9\cdot6} - \sqrt{4\cdot6} + \sqrt{25\cdot6}=\)
\(=3\sqrt{6} - 2\sqrt{6} + 5\sqrt{6}=\)
\(=(3 - 2 + 5)\sqrt{6}=6\sqrt{6}\)
д) \(3\sqrt{2} + \sqrt{32} - \sqrt{200}=\)
\(=3\sqrt{2} + \sqrt{16\cdot2} - \sqrt{100\cdot2}=\)
\(=3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 10\sqrt{2}=\)
\(=(3 + 4 - 10)\sqrt{2}=-3\sqrt{2}.\)
е) \(2\sqrt{72} - \sqrt{50} - 2\sqrt{8}=\)
\(=2\sqrt{36\cdot2} - \sqrt{25\cdot2} - 2\sqrt{4\cdot2}=\)
\(=2\cdot6\sqrt{2} - 5\sqrt{2} - 2\cdot2\sqrt{2}=\)
\(=12\sqrt{2} - 5\sqrt{2} - 4\sqrt{2}=\)
\(=(12 - 5 - 4)\sqrt{2}=3\sqrt{2}.\)
Пояснения:
– Использовано свойство извлечения множителя из-под корня:
\( \sqrt{m n}=\sqrt{m}\cdot\sqrt{n}\).
– Чтобы вынести множитель из-под корня, раскладываем подкоренное выражение на произведение, и извлекаем корень из тех множителей, которые являются квадратом какого-либо числа.
– После извлечения множителя из-под корня все слагаемые оказались в виде \(k\sqrt p\) с одинаковым \(p\), что позволило вынести общий множитель \(\sqrt p\) за скобки и упростить выражение.
Вернуться к содержанию учебника