Упражнение 260 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(y = \dfrac{36}{(x+1)^2 - (x-1)^2}\);

\((x+1)^2 - (x-1)^2 \neq0\)

\(x^2 +2x+1 - (x^2 -2x+1) \neq0\)

\( 4x\neq0\)

\(x\neq0\)

Область определения: все числа кроме \(0\).

\(y = \dfrac{36}{4x} = \dfrac{9}{x},\quad x \neq 0\)

б) \(y = \dfrac{18 - 12x}{x^2 - 3x} - \dfrac{6}{3 - x}\);

\(x^2 - 3x \neq0\)               \(3-x\neq0\)

\(x(x-3)\neq0\)                     \(x\neq3\)

\(x\neq0\)      \(x-3\neq0\)     

                 \(x\neq3\)   

Область определения: все числа кроме \(3; 0\).

\(y=\dfrac{18 -12x}{x(x-3)} - \dfrac{6}{3-x} =\)

\(=\dfrac{18 -12x}{x(x-3)} + \dfrac{6}{x-3}=\)

\(=\dfrac{18 -12x +6x}{x(x-3)} = \dfrac{18 -6x}{x(x-3)} =\)

\(=\dfrac{6(3-x)}{x(x-3)} = -\dfrac{6}{x},\quad x\neq 0,\,3\)

в) \(y = \dfrac{16}{(2 - x)^2 - (2 + x)^2}\);

\((2 - x)^2 - (2 + x)^2 \neq0\)

\( (4 -4x + x^2) - (4 +4x + x^2) \neq0\)

\(-8x\neq0\)

\(x\neq0\)

\(y = \dfrac{16}{(2 - x)^2 - (2 + x)^2}=\)

\(=\dfrac{16}{-8x} = -\dfrac{2}{x},\quad x\neq 0\)

г) \(y = \dfrac{3x(x+1) - 3x^2 + 15}{x(x+5)}\).

\(x(x+5)\neq0\)

\(x\neq0\)   \(x+5\neq0\)

              \(x\neq-5\)

Область определения: все числа кроме \(0\) и \(-5\).

\(y = \dfrac{3x(x+1) - 3x^2 + 15}{x(x+5)}=\)

\(= \dfrac{3x^2 +3x -3x^2 +15}{x(x+5)}=\)

\(= \dfrac{3(x+5}{x(x+5)}=\dfrac{3}{x},\) \( x\neq 0,\,-5\)

Пояснения:

Использованные правила и формулы:

Разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\)

Правило приведения дробей к общему знаменателю и сокращения множителей.

Для каждого выражения область определения находится из условия ненулевого знаменателя.

В пункте а) мы применили формулу разности квадратов, чтобы свести сложный квадрат к простому множителю \(4x\), после чего получили функцию \(y=\frac{9}{x}\).

В пункте б) мы раскладываем \(x^2-3x\) в множители, затем приводим дроби к общему знаменателю и сокращаем общий множитель \((x-3)\), получая \(y=-\frac{6}{x}\). Замечаем, что в исходном выражении была особая точка при \(x=3\), которая будет "выколота" в графике исходной функции.

В пункте в) снова используем разность квадратов, получая знаменатель \(-8x\) и функцию \(y=-\frac{2}{x}\).

В пункте г) упрощаем числитель: \(3x(x+1)-3x^2+15 = 3(x+5)\), сокращаем с \((x+5)\) в знаменателе и получаем \(y=\frac{3}{x}\), помня о разрывах при \(x=0\) и \(x=-5\).

Графики всех функций представляют собой гиперболы вида \(y=\frac{A}{x}\). В пунктах б) и г) существуют дополнительные «разрывы» в точках, где сокращались множители.

1 вариант решения:

\(y = \frac{k}{x}\quad(k\neq0)\) - графиком является гипербола.

\(y = ax + b\) - графиком является прямая. 

могут пересекаться только в 1 точке.

могут пересекаться только в 2 точках.

в) не могут пересекаться в 3 точках.

2 вариант решения:

Для нахождения точек пересечения решим уравнение

\(\frac{k}{x} = ax + b,\quad x\neq0\ \)      \(|\times x\)

\(k = ax^2 + bx\)

\[ax^2 + bx - k = 0\]

\(D = b^2 + 4ak.\)

а) Пересечение в одной точке возможно, если \(D = 0.\)

Так как квадратное уравнение имеет единственный действительный корень.

б) Пересечение в двух точках происходит, если \(D > 0.\)

Так как квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.

в) Пересечение в трёх точках невозможно, поскольку квадратное уравнение не может иметь более двух корней.

Пояснения:

1. Переход к квадратному уравнению:

Приравнивание \(\frac{k}{x}\) и \(ax+b\) и домножение на \(x\neq0\) дают уравнение второй степени.

2. Дискриминант и число решений:

Формула для дис­криминанта:

\(D = B^2 - 4AC\), где \(A=a\), \(B=b\), \(C=-k\).

Тогда:

\(D = b^2 - 4\cdot a\cdot(-k) = b^2 + 4ak.\)

Если \(D>0\), два пересечения; \(D=0\), одно (касательная); \(D<0\), нет пересечений.