Упражнение 244 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(\displaystyle \frac{2}{\,mn} : \bigl(\frac1m ^{\color{red}{\backslash{n}}} -\frac1n ^{\color{red}{\backslash{m}}} \bigr)^2 \;-\; \frac{m^2+n^2}{(m-n)^2} =\)

\(=\displaystyle \frac{2}{\,mn} : \bigl(\frac{n-m}{mn}\bigr)^2 \;-\; \frac{m^2+n^2}{(m-n)^2} =\)

\(=\displaystyle \frac{2}{\,mn} : \frac{(n-m)^2}{(mn)^2} \;-\; \frac{m^2+n^2}{(m-n)^2} =\)

\(=\displaystyle \frac{2}{\,mn}\cdot \frac{(mn)^2}{(n-m)^2} \;-\; \frac{m^2+n^2}{(m-n)^2} =\)

\(= \frac{2(mn)\cancel{^2}}{\cancel{mn}(n-m)^2} \;-\; \frac{m^2+n^2}{(m-n)^2} =\)

\(= \frac{2mn}{(n-m)^2} \;-\; \frac{m^2+n^2}{(n-m)^2} =\)

\(= \frac{2mn-(m^2+n^2)}{(n-m)^2} =\frac{2mn-m^2-n^2}{(n-m)^2} =\)

\(=-\frac{n^2-2mn+m^2}{(n-m)^2}=\frac{\cancel{(n-m)^2}}{\cancel{(n-m)^2}}=-1\)

Следовательно, значение выражения при любых допустимых \(m\) и \(n\) равно \(-1\), то есть не зависит от значения переменных.

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Порядок действий:

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками;

если в выражении нет скобок, то сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители.

3) Умножение дробей:

\(\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Квадрат разности двух выражений:

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\);

8) Противоположные выражения:

\(a-b = -(b-a)\).

9) Сокращение дробей:

\(\frac{k\cdot a}{k\cdot b}=\frac{a}{b}\).

10) В итоге оба выражение сводятся к константе \(-1\), то есть оно не зависит от значений переменных.

Каждый шаг проводился последовательно:

1. Перевели разность дробей в одну дробь и возвели в квадрат.

2. Преобразовали деление на дробь в умножение на её обратную.

3. Сгруппировали разности в числителе итоговой дроби и сократили \((m-n)^2\).

В результате получили постоянное значение \(-1\), не зависящее от \(m\) и \(n\).

а) \(\displaystyle\biggl(x - \frac{4xy}{x+y} + y\biggr)\;\times\)

\(\;\times\biggl(x + \frac{4xy}{x-y} - y\biggr)=\)

\(=\displaystyle\biggl(\frac{x+y}{1} ^{\color{red}{\backslash{x+y}}} - \frac{4xy}{x+y}\biggr)\;\times\)

\(\times\;\biggl(\frac{x-y}{1} ^{\color{red}{\backslash{x-y}}} + \frac{4xy}{x-y}\biggr)=\)

\(=\frac{(x+y)^2 - 4xy}{x+y} \times\)

\(\times\; \frac{(x-y)^2 + 4xy}{x-y}=\)

\(=\frac{x^2 +2xy + y^2 -4xy}{x+y}\times\)

\(\times \frac{x^2 - 2xy + y^2 +4xy}{x-y}=\)

\(=\frac{x^2 -2xy + y^2}{x+y}\times\)

\(\times \frac{x^2 +2xy + y^2}{x-y}=\)

\(=\frac{(x- y)^2}{x+y}\cdot \frac{(x+ y)^2}{x-y}\)

\(=\frac{(x- y)\cancel{^2}(x+ y)\cancel{^2}}{\cancel{(x+y)}\cancel{(x-y)}}=x^2-y^2\)

б) \(\displaystyle\Biggl(a - \frac{1-2a^2}{1-a} + 1\Biggr)\;:\)

\(:\;\Biggl(1 - \frac{1}{1-a}\Biggr)=\)

\(=\displaystyle\Biggl(\frac{1+a}{1} ^{\color{red}{\backslash{1-a}}} - \frac{1-2a^2}{1-a}\Biggr)\;:\)

\(:\;\Biggl(\frac{1}{1} ^{\color{red}{\backslash{1-a}}} - \frac{1}{1-a}\Biggr)=\)

\(=\frac{1-a^2-(1-2a^2)}{1-a^2}:\frac{1-a-1}{1-a}=\)

\(=\frac{1-a^2-1+2a^2}{1-a^2}:\frac{-a}{1-a}=\)

\(=-\frac{a^2}{1-a^2}:\frac{a}{1-a}=\)

\(=-\frac{a^2}{1-a^2}\cdot\frac{1-a}{a}=\)

\(=-\frac{a\cancel{^2}\cancel{(1-a)}}{\cancel{(1-a)}(1+a)\cancel a}=-a.\)

Пояснения:

При решении использованы следующие приёмы:

— Приведение суммы и разности дробей к общему знаменателю:

\(\displaystyle \frac{A}{D} \pm \frac{B}{D} = \frac{A\pm B}{D}.\)

— Разложение квадратов разности и суммы: \(\displaystyle x^2\pm 2xy + y^2 = (x\pm y)^2.\)

— Деление на дробь равносильно умножению на обратную:

\(\displaystyle \frac{P}{Q} : \frac{R}{S} = \frac{P}{Q}\cdot\frac{S}{R}.\)

— Сокращение одинаковых множителей в дроби.

В пункте а) сначала преобразовали каждый множитель к квадрату суммы или разности, затем при умножении сократили один из множителей.

В пункте б) объединили члены под единым знаменателем, упростили числитель, потом разделили полученные дроби и сократили общий множитель.