Упражнение 151 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\Bigl(\frac{x}{x+1}+1 ^{\color{blue}{\backslash{x+1}}} \Bigr)\;\cdot\;\frac{1+x}{2x-1}=\)

\(=\frac{x+x+1}{x+1}\;\cdot\;\frac{1+x}{2x-1}=\)

\(=\frac{2x+1}{x+1}\cdot\frac{x+1}{2x-1}=\)

\(=\frac{(2x+1)\cancel{(x+1)}}{\cancel{(x+1)}(2x-1)}=\frac{2x+1}{2x-1}.\)

б) \(\Bigl(\frac{5y^2}{1-y^2}\Bigr)\;:\;\Bigl(1 ^{\color{blue}{\backslash{1-y}}} -\frac{1}{1-y}\Bigr)=\)

\(=\frac{5y^2}{1-y^2} : \frac{1-y-1}{1-y}=\)

\(=\frac{5y^2}{1-y^2}:\frac{-y}{1-y} =\)

\(=-\frac{5y^2}{(1-y)(1+y)}\cdot\frac{1-y}{y} =\)

\(=-\frac{5y^{\cancel{2}}\cdot\cancel{(1-y)}}{\cancel{(1-y)}(1+y)\cdot \cancel{y}} =-\frac{5y}{1+y}.\)

в) \(\displaystyle\Bigl(\frac{4a}{2-a}-a ^{\color{blue}{\backslash{2-a}}} \Bigr)\;:\;\frac{a+2}{\,a-2\,}=\)

\(=\frac{4a - a(2-a)}{2-a} \cdot \frac{a-2}{\,a+2\,}=\)

\(=\frac{4a-2a+a^2}{2-a}\cdot \frac{a-2}{\,a+2\,}=\)

\(=\frac{a^2+2a}{-(a-2)}\cdot \frac{a-2}{\,a+2\,}=\)

\(=-\frac{a(a+2)}{a-2}\cdot \frac{a-2}{\,a+2\,}=\)

\(=-\frac{a\cancel{(a+2)}\cdot\cancel{(a-2)}}{\cancel{(a-2)}\cdot\cancel{(a+2)}}=-a\)

г) \(\frac{x-2}{x-3}\;\cdot\;\Bigl(x ^{\color{blue}{\backslash{2-x}}} +\frac{x}{2-x}\Bigr)=\)

\(=\frac{x-2}{x-3}\;\cdot\; \frac{x(2-x)+x}{2-x}=\)

\(=\frac{x-2}{x-3}\;\cdot\;\frac{2x-x^2+x}{2-x}=\)

\(=\frac{x-2}{x-3}\;\cdot\;\frac{3x-x^2}{2-x}=\)

\(=\frac{x-2}{x-3}\;\cdot\;\frac{-x(x-3)}{-(x-2)}=\)

\(=\frac{\cancel{(x-2)}\cdot x\cancel{(x-3)}}{\cancel{(x-3)}\cancel{(x-2)}}=x\)

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Порядок действий:

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками;

если в выражении нет скобок, то сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Вынос общего множителя:

\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)

5) Разность квадратов:

\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).\)

6) Противоположные выражения:

\(a-b=-(b-a)\).

а) Для суммы привели к общему знаменателю \(x+1\), затем при умножении сократили одинаковый множитель \(x+1\).

б) Внутри скобки выполнили вычитание дробей, затем разделили дроби и сократили множитель \(1-y\), упростили степень \(y\).

в) Сначала выполнили вычитание, вынесли общий множитель \(a\), затем выполнили деление и учли, что

\(2-a=-(a-2)\), при этом сократили общие множители

\(a-2\) и \(a+2\).

г) Привели сумму к единой дроби со знаменателем \(2-x\), затем при умножении использовали замены

\(3-x=-(x-3)\) и

\(2-x=-(x-2)\), что дало конечный результат \(x\).

а) \( \frac{a^2-9}{2a^2+1}\;\cdot\;\Bigl(\frac{6a+1}{a-3} ^{\color{blue}{\backslash{a+3}}} +\frac{6a-1}{a+3} ^{\color{blue}{\backslash{a-3}}} \Bigr)=\)

\(=\frac{a^2-9}{2a^2+1}\;\cdot\;\frac{(6a+1)(a+3)+(6a-1)(a-3)}{(a-3)(a+3)} =\)

\(=\frac{a^2-9}{2a^2+1}\;\cdot\;\frac{6a^2+\cancel{18a}+\cancel{a}+3+6a^2-\cancel{18a}-\cancel{a}+3}{(a-3)(a+3)} =\)

\(= \frac{a^2-9}{2a^2+1}\;\cdot\;\frac{12a^2+6}{(a-3)(a+3)} =\)

\(=\frac{a^2-9}{2a^2+1}\;\cdot\;\frac{6(2a^2+1)}{a^2-9} =\)

\(=\frac{\cancel{(a^2-9)}\cdot6\cancel{(2a^2+1)}}{\cancel{(2a^2+1)}\cdot\cancel{(a^2-9)}} =6\)

б) \( \Bigl(\frac{5x+y}{x-5y} ^{\color{blue}{\backslash{x+5y}}} +\frac{5x-y}{x+5y} ^{\color{blue}{\backslash{x-5y}}} \Bigr):\frac{x^2+y^2}{x^2-25y^2}=\)

\(=\frac{(5x+y)(x+5y)+(5x-y)(x-5y)}{(x-5y)(x+5y)} \cdot\frac{x^2-25y^2}{x^2+y^2}=\)

\(=\frac{5x^2+\cancel{25xy}+\cancel{xy}+5y^2+5x^2-\cancel{25xy}-\cancel{xy}+5y^2}{x^2-25y^2} \cdot\frac{x^2-25y^2}{x^2+y^2}=\)

\(=\frac{10x^2+10y^2}{x^2-25y^2} \cdot\frac{x^2-25y^2}{x^2+y^2}=\)

\(=\frac{10(x^2+y^2)}{x^2-25y^2} \cdot\frac{x^2-25y^2}{x^2+y^2}=\)

\(=\frac{10\cancel{(x^2+y^2)}\cancel{(x^2-25y^2)}}{\cancel{(x^2-25y^2)}\cancel{(x^2+y^2)}}=10\)

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Порядок действий:

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками;

если в выражении нет скобок, то сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Вынос общего множителя:

\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)

5) Разность квадратов:

\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).\)

6) Умножение многочлена на многочлен:

\((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\).

7) Свойство степени:

\(a^nb^n = (ab)^n\).

А) Сначала свели две дроби к общему знаменателю, раскрыли произведения, сложили числители, вынесли общий множитель и сократили одинаковые множители.

Б) Аналогично: получили единый знаменатель, раскрыли скобки, сложили числители, вынесли общий множитель, а затем при делении на дробь сократили одинаковые множители.