Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№120 учебника 2023-2025 (стр. 33):
Зная, что \(a - \dfrac{5}{a} = 2\), найдите значение выражения \(a^2 + \dfrac{25}{a^2}\).
№120 учебника 2013-2022 (стр. 31):
Выполните умножение:
а) \(\bigl(3a - 15b\bigr)\cdot\dfrac{8}{a^2 - 25b^2}\);
б) \(\bigl(x^2 - 4\bigr)\cdot\dfrac{2x}{(x+2)^2}\);
в) \(\dfrac{y}{3y^2 - 12}\cdot\bigl(y^2 - 4y + 4\bigr);\)
г) \(\dfrac{2ab}{a^2 - 6ab + 9b^2}\cdot\bigl(a^2 - 9b^2\bigr).\)
№120 учебника 2023-2025 (стр. 33):
Вспомните:
№120 учебника 2013-2022 (стр. 31):
Вспомните:
№120 учебника 2023-2025 (стр. 33):
\( \bigl(a - \frac{5}{a}\bigr)^2 = 2^2. \)
\( a^2 - 2\cdot \cancel{a}\cdot\frac{5}{\cancel{a}} + \bigl(\frac{5}{a}\bigr)^2 = 4. \)
\( a^2 - 10 + \frac{25}{a^2} = 4. \)
\( a^2 + \tfrac{25}{a^2} = 4 + 10 \)
\( a^2 + \frac{25}{a^2}= 14. \)
Пояснения:
• Мы использовали формулу квадрата разности:
\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. \)
• При раскрытии получилось выражение, содержащее \(a^2\), \(\frac{25}{a^2}\) и число \(-10\). Сокращение \(a\) в произведении \(a\cdot\frac{5}{a}\) дало число 5, умноженное на 2 — получился 10.
• Перенос свободного члена \(-10\) на другую сторону равенства даёт сумму \(4 + 10\), что и является значением выражения \(a^2 + \frac{25}{a^2}\).
№120 учебника 2013-2022 (стр. 31):
а) \( (3a-15b)\cdot\frac{8}{a^2-25b^2} =\)
\(= \frac{3(a-5b)}{1}\cdot\frac{8}{(a-5b)(a+5b)} =\)
\(=\frac{3\,\cancel{(a-5b)}\cdot8}{\cancel{(a-5b)}(a+5b)} =\frac{24}{a+5b}. \)
б) \( (x^2-4)\cdot\frac{2x}{(x+2)^2} =\)
\( =\frac{(x-2)(x+2)}{1}\cdot\frac{2x}{(x+2)^2} =\)
\(=\frac{(x-2)\cancel{(x+2)}\,2x}{(x+2)^{\cancel{2}}} =\)
\(=\frac{(x-2)\,\cancel{(x+2)}\,2x}{\cancel{(x+2)}\,(x+2)} =\)
\(=\frac{2x(x-2)}{x+2}. \)
в) \( \frac{y}{3y^2-12}\cdot(y^2-4y+4) =\)
\(= \frac{y}{3(y^2-4)}\cdot\frac{(y-2)^2}{1} =\)
\( =\frac{y}{3(y-2)(y+2)}\cdot(y-2)^2 =\)
\(=\frac{y\,(y-2)^{\cancel{2}}}{3\cancel{(y-2)}(y+2)}=\frac{y\,(y-2)}{3(y+2)}. \)
г) \( \frac{2ab}{a^2-6ab+9b^2}\cdot(a^2-9b^2) =\)
\(=\frac{2ab}{(a-3b)^2}\cdot\frac{(a-3b)(a+3b)}{1} =\)
\(=\frac{2ab\,\cancel{(a-3b)}\,(a+3b)}{(a-3b)^{\cancel{2}}} =\)
\(=\frac{2ab\,(a+3b)}{a-3b}. \)
Пояснения:
• Для умножения дробей перемножаем числители и знаменатели отдельно, при этом если возможно, сначала числители и знаменатели умножаемых дробей раскладываем на множители:
- разность квадратов двух выражений:
\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\);
- вынесение общего множителя за скобки:
\(ka+kb=k(a+b)\);
- квадрат разности двух выражений:
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).
- свойство степени:
\(a^nb^n=(ab)^n\).
• Сокращение: одинаковые множители в числителе и знаменателе сокращаются.
В пункте а) применили разложение на множители:
\(3a-15b=3(a-5b)\),
\(a^2-25b^2=(a-5b)(a+5b)\),
затем сократили общий множитель \((a-5b)\).
В пункте б) заметили, что
\(x^2-4=(x-2)(x+2)\)
и сократили общий множитель \(x+2\).
В пункте в) разложили на множители
\(3y^2-12=3(y-2)(y+2\) и
\(y^2-4y+4=(y-2)^2\),
затем сократили общий множитель \((y-2)\).
В пункте г) использовали формулы:
\(a^2-6ab+9b^2=(a-3b)^2\) и
\(a^2-9b^2=(a-3b)(a+3b)\),
после чего сократили общий множитель \((a-3b)\).
Вернуться к содержанию учебника