Упражнение 91 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\displaystyle \frac{1}{a^2 + a b} + \frac{1}{a b + b^2}=\)

\(\displaystyle \frac{1}{a(a + b)} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} + \frac{1}{b(a + b)} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} =\)

\(=\displaystyle \frac{b + a}{ab(a+b)} = \frac{^1  \cancel{a + b}}{ab\cancel{(a+b)}} = \)

\(=\frac{1}{ab}. \)

б) \( \frac{1}{b^2 - a b} - \frac{1}{a b - a^2}=\)

\( \frac{1}{b(b - a)} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} - \frac{1}{a (b - a)} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} =\)

\(= \frac{a - b}{ab(b-a)} = \frac{^1  \cancel{a - b}}{-ab\cancel{(a-b)}} =\)

\(=-\frac{1}{ab}. \)

Пояснения:

1)  Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

2) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей.

3) Вынесение общего множителя за скобки:

\(kx-ky=k(x-y)\).

4) Противоположные выражения:

\(a - b = - (b-a)\).

5) Если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и при этом поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной, то есть

\( \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B}.\)

6) Сокращаем числитель и знаменатель дроби на их общий множитель.

а) \( \frac{a^2 + 3a}{ab - 5b + 8a - 40} - \frac{a}{b + 8}=\)

\( =\frac{a^2 + 3a}{b(a - 5) + 8(a - 5)} - \frac{a}{b + 8}=\)

\( =\frac{a^2 + 3a}{(a - 5)(b + 8)} - \frac{a}{b + 8} ^{\color{blue}{\backslash{a-5}}} =\)

\( =\frac{a^2 + 3a - a(a-5)}{(a - 5)(b + 8)} =\)

\( =\frac{\cancel{a^2} + 3a - \cancel{a^2} + 5a}{(a - 5)(b + 8)} =\)

  \(=\frac{8a}{(a-5)(b+8)}. \)

б) \( \frac{y}{3x - 2} - \frac{3y}{6xy + 9x - 4y - 6}=\)

\( =\frac{y}{3x - 2} - \frac{3y}{3x(2y + 3) - 2(2y + 3)}=\)

\( =\frac{y}{3x - 2} ^{\color{blue}{\backslash{2y+3}}} - \frac{3y}{(3x - 2)(2y + 3)}=\)

\(= \frac{y(2y+3) - 3y}{(3x-2)(2y+3)} =\)

\(=\frac{2y^2 + \cancel{3y} - \cancel{3y}}{(3x-2)(2y+3)} =\)

\(=\frac{2y^2}{(3x-2)(2y+3)}. \)

Пояснения:

1)  Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При приведении дробей к общему знаменателю, раскладываем на множители способом группировки один из знаменателей рассматриваемых дробей.

2) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены.

3) Распределительное свойство умножения:

\(a(b+c) = ab+ac\);

\(a(b-c) = ab-ac\).