Упражнение 45 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{a^8 + a^5}{a^5 + a^2} = \frac{a^{\cancel{5}  ^3}\,\cancel{(a^3 + 1)}}{\cancel{a^2}\,\cancel{(a^3 + 1)}} = a^3\)

Если \(a = -\tfrac12\), то

\( \Bigl(-\tfrac12\Bigr)^3 = -\tfrac18. \)

б) \( \frac{b^{10} - b^8}{b^8 - b^6} = \frac{b^{\cancel{8}  ^2}\,\cancel{(b^2 - 1)}}{\cancel{b^6}\,\cancel{(b^2 - 1)}} = b^2\)

Если \(b = -0{,}1\), то

\( (-0{,}1)^2 = 0{,}01. \)

Пояснения:

1. Сначала сокращаем дроби. Для этого числитель и знаменатель дроби в каждом случае раскладываем на множители, а именно выносим за скобки переменную в меньшей степени, учитывая свойство степени:

\(a^ma^n = a^{m+n}\).

2. Затем сокращаем на одинаковые множители и на переменную в меньшей степени.

3. В упрощенное выражение подставляем заданные числа и выполняем вычисления.

\( \frac{a^2 - 4}{12 + a^2 - a^4} \)

1. Если \(a=0\), то

\(\displaystyle \frac{0^2-4}{12+0-0} = \frac{-4}{12} = -\frac13 <0\);

Если \(a=1\), то

\(\displaystyle \frac{1-4}{12+1-1} = \frac{-3}{12} = -\frac14 <0\).

2. Чтобы понять знак для всех \(a\), нужно сократить дробь.

3. \( \frac{a^2 - 4}{12 + a^2 - a^4} =\)

\(=\frac{a^2 - 4}{12 + 4a^2 - 3a^2 - a^4} =\)

\(=\frac{a^2 - 4}{4(3 + a^2) - a^2(3 + a^2)} =\)

\(=\frac{a^2 - 4}{(4 - a^2)(3 + a^2)} =\)

\(=\frac{a^2 - 4}{-(a^2-4)(3 + a^2)} =\)

\(=\frac{\cancel{a^2 - 4}}{-\,\cancel{(a^2 - 4)}(a^2 + 3)} = -\,\frac{1}{a^2 + 3}. \)

\(a^2 + 3 > 0\) для любого \(a\), тогда

\(-\,\frac{1}{a^2 + 3} < 0\) для любого \(a\).

Вывод: для всех \(a\), отличных от \(2\) и \(-2\) дробь \(\displaystyle \frac{a^2-4}{12+a^2-a^4}\) принимает отрицательное значение.

Пояснения:

— Числитель раскладывается по формуле разности квадратов:

\(a^2-4 = (a-2)(a+2)\).

— Знаменатель \(12 + a^2 - a^4\) с помощью группировки слагаемых и вынесением общего множителя за скобки приводится к разложению \(-\,(a^2-4)(a^2+3)\).

— Выполнив сокращение на одинаковый множитель, дробь сводится к виду \(-1/(a^2+3)\) и знаменатель положителен, значит, знак дроби — всегда отрицательный.