Упражнение 21 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(\displaystyle \frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}\)

\( 4x^2 + 9 + y^2 + 4xy = \)

\( =(4x^2 + 4xy + y^2) + 9 =\)

\(=(2x + y)^2 + 9\).

\((2x+y)^2 \ge 0\), тогда

\((2x+y)^2 + 9 \ge 9\), тогда наибольшее значение дроби \(\frac{18}{9} = 2\)

а) неверно;

б) верно;

в) неверно.

Пояснения:

1. Полный квадрат \((2x+y)^2\) показывает, что знаменатель никогда не меньше 9, а достигает 9 при условии \(2x+y=0\).

2. Для дроби с положительным числителем и минимальным знаменателем значение дроби будет наибольшим, а при росте знаменателя значение стремится к 0.

3. Таким образом, наибольшее значение дроби равно 2, наименьшее стремится к 0.

а) \((2a + 3)(2a - 3) = (2a)^2 - 3^2 =\)

\(=4a^2 - 9\).

б) \((y - 5b)(y + 5b) = y^2 - (5b)^2 =\)

\(=y^2 - 25b^2\).

в) \((0{,}8x + y)(y - 0{,}8x) = \)

\(=y^2 - (0{,}8x)^2 = y^2 - 0{,}64x^2\).

г) \((b + 0{,}5)^2 =\)

\(=b^2 + 2\cdot b\cdot0{,}5 + (0{,}5)^2 =\)

\(=b^2 + b + 0{,}25\).

д) \((a - 2x)^2 = \)

\(=a^2 - 2\cdot a\cdot2x + (2x)^2 =\)

\(=a^2 - 4ax + 4x^2\).

е) \((ab - 1)^2 =\)

\(=(ab)^2 - 2\cdot ab\cdot1 + 1^2 =\)

\(=a^2b^2 - 2ab + 1\).

Пояснения:

1. Для пунктов а), б) и в) использована формула разности квадратов двух выражений:

\((a+b)(a-b)=a^2-b^2.\)

2. Для пункта г) применена формула квадрата суммы двух выражений:

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\)

3. Для пункта г) применена формула квадрата разности двух выражений:

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\)

4. Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).