Упражнение 1271 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 282

а) \( \dfrac{x^{4} + a^{2}x^{2} + a^{4}}{x^{3} + a^{3}} =\)

\( =\dfrac{(x^{4} + 2a^{2}x^{2} + a^{4})-a^{2}x^{2}}{x^{3} + a^{3}} =\)

\( =\dfrac{(x^{2} + a^{2})^2-(ax)^{2}}{x^{3} + a^{3}} =\)

\(=\dfrac{\cancel{(x^{2} + a^{2} - a x)}(x^{2} + a^{2} + a x)}{(x + a)\cancel{(x^{2} - a x + a^{2}})} =\)

\(=\dfrac{x^{2} + a x + a^{2}}{x + a}. \)

б) \( \dfrac{8a^{n+2} + a^{n-1}}{16a^{n+4} + 4a^{n+2} + a^{n}} =\)

\(=\dfrac{a^{n-1}(8a^{3} + 1)}{a^{n}(16a^{4} + 4a^{2} + 1)} =\)

\(=\dfrac{\cancel{a^{n}}\,a^{-1} (2a + 1)(4a^{2} - 2a + 1)}{\cancel{a^{n}}((16a^{4} + 8a^{2} + 1) - 8a^2 + 4a^2)} =\)

\(=\dfrac{a^{-1}(2a + 1)(4a^{2} - 2a + 1)}{(4a^{2} + 1)^2 - 4a^2} =\)

\(=\dfrac{(2a + 1)(4a^{2} - 2a + 1)}{a((4a^{2} + 1)^2 - (2a)^2)} =\)

\(=\dfrac{(2a + 1)\cancel{(4a^{2} - 2a + 1)}}{a\cancel{(4a^{2} + 1 - 2a)}(4a^{2} + 1 + 2a)} =\)

\( = \dfrac{2a + 1}{a(4a^{2} + 2a + 1)}. \)

Пояснения:

Пункт а)

Для сокращения дроби нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Знаменатель \(x^{3} + a^{3}\) раскладывается по формуле суммы кубов: \[ x^{3} + a^{3} = (x + a)(x^{2} - a x + a^{2}). \]

В числителе дроби добавляем и вычитаем одно и то же выражение \(2a^{2}x^{2}\), чтобы получить сначала квадрат суммы двух выражений

\((x^{2} + a^{2})^2\), а затем разность квадратов двух выражений

\((x^{2} + a^{2})^2-(ax)^{2}\).

Далее сокращаем одинаковый множитель числителя и знаменателя \(x^{2} - a x + a^{2}\) получаем \[ \dfrac{x^{2} + a x + a^{2}}{x + a}. \]

Пункт б)

Сначала вынесем общий множитель из числителя и знаменателя:

\( 8a^{n+2} + a^{n-1} = a^{n-1}(8a^{3} + 1), \)

\( 16a^{n+4} + 4a^{n+2} + a^{n} =\)

\(a^{n}(16a^{4} + 4a^{2} + 1). \)

Сокращаем общий множитель числителя и знаменателя \(a^n\).

Затем в числителе дроби применяем формулу суммы кубов двух выражений:

\[ 8a^{3} + 1 = (2a + 1)(4a^{2} - 2a + 1). \]

В знаменателе дроби добавляем и вычитаем одно и то же выражение \(8a^{2}\), чтобы получить сначала квадрат суммы двух выражений \((4a^{2} + 1)^2 \), а затем разность квадратов двух выражений \((4a^{2} + 1)^2 - 4a^2\).

Далее сокращаем общий множитель числителя и знаменателя

\(4a^{2} + 1 - 2a\) и получаем: \[ \dfrac{2a + 1}{a(4a^{2} + 2a + 1)}. \]