Упражнение 1275 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 282

\(54^{35} + 28^{21}\)

1) \(54\) оканчивается на 4.

\( 4^{1}=4,\quad 4^{2}=16,\)

\(4^{3}=64,\quad 4^{4}=256,\,\ldots \)

Для нечётного показателя степень заканчивается на 4, для четного - на 6.

\(35\) нечётное, значит, \(54^{35}\) оканчивается на 4.

2) \(28\) оканчивается на 8.

\( 8^{1}=8,\quad 8^{2}=64,\quad 8^{3}= ...2,\)

\(8^{4}=...6,  \quad 8^{4}=...8 \quad 8^{6}=...4,\, \ldots \)

Последние цифры повторяются с периодом:

\(8, 4, 2, 6\).

Найдём остаток от деления показателя 21 на 4:

\[ 21 : 4 = 5 \text{ (остаток }1). \]

\(8^{21}\) оканчивается на первую цифру цикла — 8.

3) \(4 + 8 = 12\),

последняя цифра — 2.

Ответ: сумма \(54^{35} + 28^{21}\) оканчивается цифрой 2.

Пояснения:

Чтобы найти последнюю цифру степени, достаточно рассматривать только последнюю цифру основания. Далее нужно выявить период повторения последних цифр для последовательных степеней. Эти периоды всегда малы (для любой цифры 0–9 период не превышает 4).

Для 4 период равен 2, для 8 — 4. После нахождения нужных последних цифр оснований при заданных показателях степени, складываем их и берём последнюю цифру результата.