Упражнение 292 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\sqrt{900} = 30\).

б) \(\sqrt{0{,}01} = 0{,}1\).

в) \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\).

г) \(\sqrt{\dfrac{121}{64}} = \dfrac{11}{8} = 1{,}375\)

д) \( \sqrt{6\dfrac{1}{4}} = \sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5 \)

Пояснения:

Арифметический квадратный корень из числа \(a\) — это такое неотрицательное число \(x\), при котором \(x^2 = a\).

а) \(\sqrt{900} = 30\), потому что \(30^2 = 900\)

б) \(\sqrt{0{,}01} = 0{,}1\), потому что

\(0{,}1^2 = 0{,}01\)

в) \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\), потому что

\(0{,}8^2 = 0{,}64\)

г) \(\sqrt{\dfrac{121}{64}} = \dfrac{11}{8} = 1{,}375\), потому что

\((1{,}375)^2 = (\dfrac{11}{8})^2 = \dfrac{121}{64}\).

д) Чтобы извлечь квадратный корень из смешанного числа, преобразуем это число в неправильную дробь.

\(6\dfrac{1}{4} = \dfrac{25}{4}\), значит:

\( \sqrt{6\dfrac{1}{4}} = \sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5 \), потому что

\((2{,}5)^2 = (\dfrac{5}{2})^2 = \dfrac{25}{4} = 6\dfrac{1}{4}\).

\(a = 1{,}323223222\ldots\)

\(b = 2{,}313113111\ldots\)

\(a + b = 3,636336333\ldots\) - иррациональное число.

Ответ: сумма является иррациональным числом.

Пояснения:

Рациональное число — число, представимое в виде дроби \(\frac{m}{n}\), где \(m\) - целое число, а \(n\) — натуральное число. Каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической дроби.

Иррациональные числа — это числа с бесконечной непериодической десятичной записью.

Числа вида:

• \(1{,}3223223222\ldots\), где количество одинаковых цифр растёт и нет повторяющегося фрагмента — не обладают периодом → иррациональные;
• \(2{,}3131313111\ldots\), где увеличиваются группы единиц и нет повторения одного и того же фрагмента → тоже иррациональное число.

Сумма двух иррациональных чисел может быть как рациональной, так и иррациональной, но только в специальных случаях. Здесь таких закономерностей нет (проверили, вычислив сумму), и потому сумма

\(a + b\) — иррациональное число.