Упражнение 1223 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( 15x^2 -18xy +15y^2 =\)

\(=9x^2 + 6x^2 - 18xy + 9y^2 + 6y^2=\)

\(=(9x^2 - 18xy + 9y^2) + 6x^2 + 6y^2 =\)

\(=((3x)^2 - 2\cdot3x\cdot3y + (3y)^2) + 6x^2 + 6y^2 =\)

\(=(3x - 3y)^2 + 6x^2 + 6y^2 > 0\),

если \(x\neq0\) или \(y\neq0\).

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

– Сначала представили выражения с квадратами переменных в виде суммы подобных слагаемых:

\( 15x^2 =9x^2 + 6x^2\),

\( 15y^2 =9y^2 + 6y^2\)/

– Далее выполнили группировку:

\((9x^2 - 18xy + 9y^2)\), что, учитывая свойство степени \(a^nb^n = (ab)^n\), можно записать так:

\(((3x)^2 - 2\cdot3x\cdot3y + (3y)^2) \),

полученное выражение можно по формуле разности квадрата записать как:

\((3x - 3y)^2\).

– Квадрат любого числа отличного от нуля, является положительным числом, следовательно, выражение \((3x - 3y)^2 + 6x^2 + 6y^2 > 0\), если \(x\neq0\) или \(y\neq0\).

Значит, \( 15x^2 -18xy +15y^2 >0\), если \(x\neq0\) или \(y\neq0\). Что и требовалось доказать.

Пусть \(x\) и \(y\) - искомые натуральные числа.

\(x+y=168\).

\(НОД(x,y)=24\), тогда

\(x = 24a,\quad y = 24b.\)

\(24a + 24b = 168 \)   / \(: 24\)

\( a + b = 7.\)

1) \(1 + 6 = 7\)

\(x = 24\cdot1 = 24\); \(y =24\cdot6 =144\).

2) \(2 + 5 = 7\)

\(x = 24\cdot2 = 48\); \(y =24\cdot5 =120\).

3) \(3 + 4 = 7\)

\(x = 24\cdot3 = 72\); \(y =24\cdot4 =96\).

4) \(4 + 3 = 7\)

\(x = 24\cdot4 = 96\); \(y =24\cdot3 =72\).

5) \(5 + 2 = 7\)

\(x = 24\cdot5 = 120\); \(y =24\cdot2 =48\).

6) \(6 + 1 = 7\)

\(x = 24\cdot6 = 144\); \(y =24\cdot1 = 24\).

Ответ: 24 и 144, 48 и120, 72 и 96.

Пояснения:

1) Условие \(НОД(x,y)=24\) позволяет представить числа в виде \(24a\) и \(24b\).

2) Сумма \(x+y=168\) превращается в уравнение \(a+b=7\).

3) Натуральные взаимно простые решения \(a+b=7\) дают все возможные пары исходных чисел.