Упражнение 1218 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \( n = 2^x \,3^y \) — наименьшее натуральное число с указанными свойствами.

Так как \(2n = 2^{x+1}3^y\) должно быть полным квадратом, показатели при всех простых должны быть чётными. Значит

\( x + 1 \text{ чётно,} \quad y \text{ чётно.} \)

Так как \(3n = 2^x3^{y+1}\) должно быть полным кубом, показатели при всех простых должны делиться на 3. Значит

\( x \;\text{делится на 3,} \quad y + 1 \;\text{делится на 3.} \)

Ищем наименьшие неотрицательные решения для \(x\) и \(y\):

– \(x\) чётность: \(x+1\) чётно, значит, \(x\) нечётно; и одновременно \(x\) кратно 3, тогда минимальное \(x = 3\).

– \(y\) чётно и одновременно \(y + 1\) кратно 3, тогда минимальное \(y = 2\).

\[ n = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72. \]

Проверка:

\(2n = 144 = 12^2,\quad 3n = 216 = 6^3.\)

Пояснения:

– Для «\(2n\) — квадрат» все показатели в разложении на простые должны быть чётны.

– Для «\(3n\) — куб» все показатели должны делиться на 3.

– Решение даёт единственный минимальный набор показателей \(x=3\), \(y=2\).

\( 5x^3 - 32x^2 + 75x - 71 = a(x - 2)^3 + b(x - 2)^2 + c(x - 2) + d \)

\( 5x^3 - 32x^2 + 75x - 71 =a( x^3 - 6x^2 + 12x - 8) + b(x^2 - 4x + 4) + cx -2c + d\)

\( 5x^3 - 32x^2 + 75x - 71 =ax^3 - 6ax^2 + 12ax - 8a + bx^2 - 4bx + 4b + cx - 2c + d\)

\( 5x^3 - 32x^2 + 75x - 71 = a\,x^3 +(-6a + b)\,x^2 + (12a - 4b + c)\,x + (-8a + 4b - 2c + d)\)

1) \(a = 5.\)

2) \( -6a + b = -32,\)

\(-6\cdot5 + b = -32\)

\(-30 + b = -32\)

\(-30 + b = -32 + 30\)

\(b = -2\).

3) \( 12a - 4b + c = 75,\)

\( 12\cdot5 - 4\cdot(-2) + c = 75,\)

\( 60 + 8 + c = 75,\)

\( 68 + c = 75,\)

\( c = 75 - 68,\)

\(c = 7\).

4) \( -8a + 4b - 2c + d = -71 \)

\( -8\cdot5 + 4\cdot(-2) - 2\cdot7 + d = -71 \)

\( -40 - 8 - 14 + d = -71 \)

\( -62 + d = -71 \)

\( d = -71 + 62 \)

\( d = -9\).

Ответ: \(a = 5,\) \(b = -2,\) \(c = 7,\)

\( d = -9.\)

Пояснения:

1) Тождественное равенство двух многочленов значит, что при любом \(x\) их коэффициенты при одинаковых степенях должны совпадать.

2) Раскрытие скобок позволяет представить правую часть в стандартном виде

\(A x^3 + B x^2 + C x + D\).

3) Приравнивание коэффициентов даёт систему линейных уравнений для \(a,b,c,d\), которую и решили.

При решении уравнений учитываем то, что корни уравнения не изменяются, если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.

Куб разности двух выражений:

\((a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\).

Квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).