Упражнение 1080 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \begin{cases} x - 3y = 5, \\ 3x - 9y = 15; \end{cases}\)

\( \begin{cases} -3y = 5 - x, \\ -9y = 15 - 3x; \end{cases}\)

\( \begin{cases} y = \frac{x - 5}{3}, \\ y = \frac{3x - 15}{9}; \end{cases}\)

\( \begin{cases} y = \frac{x - 5}{3}, \\ y =\frac{x - 5}{3}. \end{cases}\)

Уравнения совпадают, значит, система имеет бесконечно много решений.

Если \(x=0\), то \( y = \tfrac{0 - 5}{3}=-1\frac{2}{3};\)

Если \(x=5\), то \( y = \tfrac{5 - 5}{3}=0;\)

Если \(x=2\), то \( y = \tfrac{2 - 5}{3}=-3.\)

Ответ:  \((0;-1\tfrac{2}{3})\);  \((5; 0)\);  \((2;-3)\).

б) \( \begin{cases} 1{,}5y + x = -0{,}5, \\ 2x + 3y = -1; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 1{,}5y = -\,0{,}5 - x, \\ 3y = -1 - 2x; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = \frac{-0{,}5 - x}{1{,}5}, \\ y = \frac{-1 - 2x}{3}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = \frac{-1 - 2x}{3}, \\ y = \frac{-1 - 2x}{3}. \end{cases} \)

Уравнения совпадают, значит, система имеет бесконечно много решений.

Если \(x=0\), то \( y = \tfrac{-1 - 2\cdot0}{3}=-\tfrac13;\)

Если \(x=1\), то \( y = \tfrac{-1 - 2\cdot1}{3}=-1;\)

Если \(x=4\), то \( y = \tfrac{-1 - 2\cdot4}{3}=-3.\)

Ответ:  \((0;-\tfrac13)\);  \((1; -1)\);  \((4;-3)\).

Пояснения:

Метод выражения переменной:

Для уравнения вида \(ax + by = c\) переносим \(ax\) в правую часть: \(by = c - ax\), затем делим на \(b\):

\[ y = \frac{c - ax}{b}. \]

В обеих системах выражения для \(y\) в первом и во втором уравнении совпадают, что соответствует бесконечному множеству решений.

а) \(x^5 + 4a^2x^3 - 4ax^4=\)

\(= x^3\bigl(x^2 + 4a^2 - 4ax\bigr) =\)

\(=x^3\bigl(x^2 - 4ax + 4a^2\bigr) =\)

\(=x^3(x - 2a)^2. \)

б) \( 4a^6 - 12a^5b + 9a^4b^2 =\)

\(=a^4\bigl(4a^2 - 12ab + 9b^2\bigr) =\)

\(=a^4(2a - 3b)^2. \)

Пояснения:

Использованные приёмы:

1. Вынесение общего множителя: если все члены содержат одинаковый множитель, его можно вынести за скобки:

\(ax+bx=x(a+b)\).

2. Квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\)

3.Свойство степени:

\(a^nb^n=(ab)^n\).

а) Все слагаемые содержат \(x^3\); после его вынесения остаётся

\(x^2 - 4ax + 4a^2\), что является полным квадратом \((x - 2a)^2\).

б) Во всех членах есть \(a^4\); после вынесения получается трёхчлен

\(4a^2 -12ab +9b^2\), который является полным квадратом \((2a -3b)^2\).