Упражнение 1057 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть двузначное число имеет десятки \(x\) и единицы \(y\). Тогда само число записывается как:

\[ 10x + y \]

После перестановки цифр получится число:

\[ 10y + x \]

По условию новое число больше прежнего на 54:

\[ 10y + x = 10x + y + 54 \]

\( 10y + x - 10x - y = 54;\)

\(9y - 9x = 54; \)      \(|:9\)

\( y - x = 6;\)

\(y = x + 6. \)

Так как \(x\) и \(y\) — цифры (от 0 до 9), и \(x \ge 1\), то:

• \(x = 1 \Rightarrow y = 7\)
• \(x = 2 \Rightarrow y = 8\)
• \(x = 3 \Rightarrow y = 9\)

Проверка:

Если  \(x = 1\), \(y = 7\):

\(10 \cdot 1 + 7 = 17\), после перестановки: \(10 \cdot 7 + 1 = 71;\)

\[ 71 - 17 = 54 \]

\(54=54\) - верно.

Если  \(x = 2\), \(y = 8\):

\(10 \cdot 2 + 8 = 28\), после перестановки: \(10 \cdot8 + 2 = 82;\)

\[ 82-28 = 54 \]

\(54=54\) - верно.

Если  \(x = 3\), \(y = 9\):

\(10 \cdot 3 + 9 = 39\), после перестановки: \(10 \cdot 9 + 3 = 93;\)

\[ 93-39= 54 \]

\(54=54\) - верно.

Ответ: 17; 28; 39.

Пояснения:

Обозначаем исходное число как \(10x + y\), где \(x\) — цифра десятков, \(y\) — цифра единиц. После перестановки цифр получаем новое число: \(10y + x\). По условию:

\[ (10y + x) - (10x + y) = 54 \]

Приводим подобные:

\[ 9y - 9x = 54 \Rightarrow y - x = 6 \]

Подбираем такие \(x\), при которых \(y = x + 6\) — тоже цифра (меньше 10). Получаем исходное число при \(x = 1\), \(y = 7\) равно 17; при  \(x = 2\), \(y = 8\) равно 28; при  \(x = 3\), \(y = 9\) равно 39. Проверка показывает, что условие выполняется.

а) \( \begin{cases} 3u + v = 8, \\ 7u - 2v = 23; \end{cases}\)

\(u = 3\), \(v = -1:\)

\( \begin{cases} 3 \cdot 3 + (-1) = 8,\\ 7 \cdot 3 - 2 \cdot (-1) = 23; \end{cases}\)

\( \begin{cases} 9 + (-1) = 8,\\ 21 +2 = 23; \end{cases}\)

\( \begin{cases} 8= 8,\\ 23 = 23. \end{cases}\)

Пара является решением системы.

б) \(\begin{cases} v + 2u = 5, \\ u + 2v = 1; \end{cases} \)

\(u = 3\), \(v = -1:\)

\(\begin{cases} -1 + 2 \cdot 3 = 5, \\ 3 + 2 \cdot (-1) = 1; \end{cases} \)

\(\begin{cases} -1 +6 = 5, \\ 3 -2 = 1; \end{cases} \)

\(\begin{cases} 5 = 5, \\ 1 = 1. \end{cases} \)

Пара является решением и этой системы.

Ответ: а) Да; б) Да.

Пояснения:

Чтобы проверить, является ли пара значений переменных решением системы, подставляем их в каждое уравнение и проверяем, превращаются ли они в верные равенства. В данном случае и в системе а), и в системе б) оба уравнения выполняются.