Упражнение 1037 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^2 - 2xy + y^2 + a^2 = \)

\(=(x^2 - 2xy + y^2) + a^2 = \)

\(=(x - y)^2 + a^2 \ge 0. \)

б) \( 4x^2 + a^2 - 4x + 1 =\)

\( =(4x^2 - 4x + 1) + a^2 =\)

\(=\bigl(2x - 1\bigr)^2 + a^2 \ge 0. \)

в) \( 9b^2 - 6b + 4c^2 + 1 =\)

\( =(9b^2 - 6b + 1) + 4c^2 =\)

\(=\bigl(3b - 1\bigr)^2 + (2c)^2 \ge 0. \)

г) \( a^2 + 2ab + 2b^2 + 2b + 1 =\)

\( =(a^2 + 2ab + b^2) + (b^2 + 2b + 1) =\)

\(=(a + b)^2 + \bigl(b + 1\bigr)^2 \ge 0. \)

д) \( x^2 - 4xy + y^2 + x^2y^2 + 1 =\)

\(= (x^2 - 2xy + y^2) + (x^2y^2 - 2xy + 1) =\)

\(= (x - y)^2 + (xy - 1)^2 \ge 0. \)

е) \( x^2 + y^2 + 2x + 6y + 10 =\)

\(= (x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 6y + 9) =\)

\(=(x + 1)^2 + (y + 3)^2 \ge 0. \)

Пояснения:

Использованные приёмы:

1. Квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\)

2. Квадрат разности двух выражений.

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\)

3. Сумма квадратов всегда неотрицательна:

\(a^2 + b^2 + \dots \ge 0.\)

4. Приведение подобных членов:

\(ax + bx = (a + b)x.\)

5. Свойство степени:

\(a^nb^n = (ab)^n.\)

а) Учитывая то, что

\( x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2\), получили сумму квадратов двух выражений, которая всегда неотрицательна.

б) Учитывая то, что

\(4x^2 - 4x +1 = (2x -1)^2\), получили сумму квадратов двух выражений, которая всегда неотрицательна.

в) Учитывая то, что

\(9b^2 -6b +1 = (3b-1)^2\) и

\(4c^2 = (2c)^2\), получили сумму квадратов двух выражений, которая всегда неотрицательна.

г) \(2b^2 = b^2 + b^2\), тогда, учитывая то, что \(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\) и

\(b^2 + 2b + 1 = (b+1)^2\), получили сумму квадратов двух выражений, которая всегда неотрицательна.

д) \(- 4xy = -2xy - 2xy\), тогда, учитывая то, что

\(x^2 - 2xy + y^2=(х-y)^2\) и

\(x^2y^2 - 2xy + 1 = (xy-1)^2\), получили сумму квадратов двух выражений, которая всегда неотрицательна.

е) 10 = 1 + 9, тогда, учитывая то, что \(x^2+2x+1=(x+1)^2\) и

\(y^2+6y+9=(y+3)^2\), получили сумму квадратов двух выражений, которая всегда неотрицательна.

Пусть \(x\) - число тетрадей, \(y\) — число карандашей.

Составим уравнение по сумме затрат:

\(5x + 7y = 44,\)

\(5x = 44 - 7y,\)

\(x = \frac{44 - 7y}{5}.\)

Так как \(x\) должно быть целым и неотрицательным, переберём целые неотрицательные \(y\), при которых числитель делится на 5:

— Если \(y=0\), то \(x = \frac{44-0}{5} = \frac{44}{5}\) (не целое).

— Если \(y=1\), то \(x = \frac{44-7}{5} = \frac{37}{5}\) (не целое).

— Если \(y=2\), то \(x = \frac{44-14}{5} = \frac{30}{5} = 6\) (целое).

— Если \(y\ge3\), то \(44 - 7y < 44 - 21 = 23\), и при последующих проверках целого \(x\) не получится.

Единственное целое решение уравнения: \(x = 6\), \(y = 2\).

Ответ: 6 тетрадей.

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

– Составление линейного уравнения с двумя переменнымипо стоимости товаров.

– Упрощение уравнения делением на общий множитель.

– Поиск целочисленных решений методом подбора.

1. Переменные: \(x\) — количество тетрадей, \(y\) — количество карандашей.

2. Уравнение: стоимость тетрадей \(5x\) плюс стоимость карандашей \(7y\) равна общей сумме 44 р.

3. Поиск решений: выразили \(x\) через \(y\) и проверили небольшое количество значений \(y\), при которых дробь превращается в целое число.

4. Вывод: подошло только \(y=2\), тогда \(x=6\).