Упражнение 1040 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

1. \((10n + 5)^2 = 100n(n + 1) + 25\)

\( (10n + 5)^2 = \)

\(=(10n)^2 + 2\cdot10n\cdot5 + 5^2 = \)

\(=100n^2 + 100n + 25 = \)

\(=100n(n + 1) + 25. \)

Тождество доказано.

Правило: если число оканчивается на 5, его можно записать как \(10n + 5\). Тогда

\( (10n + 5)^2 = 100\,n(n + 1) + 25, \)

то есть нужно перемножить «предшествующую» часть \(n\) и \(n+1\), а затем дописать «25».

1) \(25^2 = (10\cdot2 + 5)^2 = \)

\(=100\cdot2\cdot(2 + 1) + 25 =\)

\(=200\cdot3 + 25 = 600 + 25 = 625\);

2) \(45^2 = (10\cdot4 + 5)^2 =\)

\(=100\cdot4\cdot(4 + 1) + 25 =\)

\(=400\cdot5 + 25 = 2000 + 25 =2025\);

3) \(75^2 = (10\cdot7 + 5)^2 =\)

\(=100\cdot7\cdot(7 + 1) + 25 =\)

\(=700\cdot8 + 25 = 5600 + 25 = 5625\);

4) \(115^2 = (10\cdot11 + 5)^2 =\)

\(=100\cdot11\cdot(11 + 1) + 25 =\)

\(=1100\cdot12 + 25 = \)

\(=13200 + 25 = 13 225\).

Пояснения:

Использованные формулы:

1. Квадрат суммы:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\)

2. Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n.\)

3. Вынесение общего множителя за скобки:

\(ax + bx = (a + b)x.\)

Доказательство тождества

Берём число в виде \(10n + 5\) и применяем формулу квадрата суммы. Получаем три слагаемых: квадрат десятков, удвоенное произведение и квадрат единиц. Сложение даёт именно \(100n^2 +100n +25\), что равно \(100n(n+1)+25\).

Вывод правила

Поскольку при возведении числа вида \(10n+5\) в квадрат образуется выражение \(100n(n+1)+25\), то для числа, оканчивающегося на 5, нужно:

– взять его «десятки» \(n\), умножить на последующее число \(n+1\);

– к результату прибавить 25 в конце.

Применение правила

Для \(25\) (где \(n=2\)) получаем \(2\cdot3=6\) и прибавляем 25, имеем 625. Аналогично для других чисел:

\(45^2=2025\),

\(75^2=5625\),

\(115^2=13225\).

а) Пусть \(x\) - число тетрадей в линейку, \(y\) - число тетрадей в клетку.

Составим уравнение:

\(10x + 15y = 320;\)        \(|:5\)

\(2x + 3y = 64.\)

При \(x = y\):

\(2x + 3x = 64;\)

\(5x = 64\) — нет целого решения, следовательно, одинаковое число нельзя купить.

б) Выразим \(x\) через \(y\):

\(x = \frac{64 - 3y}{2}.\)

Чтобы \(x\) было целым, числитель \(64 - 3y\) должен быть чётным, то есть \(3y\) чётно ⇒ \(y\) чётно. Перебирая \(y=2,4,6\dots\), пока \(x\ge0\), получаем пары:

\((x,y) =(29,2), (26,4), (23,6),\)

\((20,8), (17,10), (14,12), (11,14),\)

\((8,16), (5,18), (2,20).\)

в) Для каждой пары найдём сумму \(x+y\). Она убывает от 31 до 22. Максимальная сумма равна

\[29+2 = 31.\]

г) Минимальная сумма равна

\[2 + 20 = 22.\]

Ответ: одинаковое число тетрадей купить нельзя; возможные пары перечислены; максимум тетрадей — 31, минимум — 22.

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

– Составление линейного уравнения по сумме стоимостей.

– Упрощение уравнения делением на общий множитель.

– Решение уравнения: выражение одной переменной через другую и подбор целых неотрицательных значений.

1. Переменные: \(x\) — число тетрадей в линейку, \(y\) — число тетрадей в клетку.

2. Уравнение: стоимость тетрадей в линейку \(10x\) и в клетку \(15y\) даёт общую сумму 320 р.:
\[10x + 15y = 320.\]

3. Упрощение: разделили на 5: \[2x + 3y = 64.\]

4. Выразили \(x = \frac{64-3y}{2}\), перебрали чётные \(y\ge2\) до \(y=20\), получили все решения.

5. Вывод: одинаковое число тетрадей купить нельзя; возможные пары перечислены; максимум тетрадей — 31, минимум — 22.