Упражнение 1036 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^3 + y^3 + 2x^2 - 2xy + 2y^2 = \)

\(=(x^3 + y^3) + (2x^2 - 2xy + 2y^2)=\)

\( = (x+y)(x^2 - xy + y^2) + 2(x^2 - xy + y^2) =\)

\(=(x^2 - xy + y^2)\,(x + y + 2);\)

б) \(a^3 - b^3 + 3a^2 + 3ab + 3b^2 =\)

\(=(a^3 - b^3) + (3a^2 + 3ab + 3b^2)=\)

\( = (a - b)(a^2 + ab + b^2) + 3(a^2 + ab + b^2) =\)

\(=(a^2 + ab + b^2)\,(a - b + 3);\)

в) \(a^4 + ab^3 - a^3b - b^4 =\)

\(=(a^4 - b^4) + (ab^3 - a^3b)=\)

\(= (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) - ab(a^2-b^2)=\)

\(= (a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - ab)=\)

\( = (a - b)(a + b)(a^2 - ab + b^2)\);

г) \(x^4 + x^3y - xy^3 - y^4 =\)

\(=(x^4 - y^4) + (x^3y - xy^3)=\)

\(= (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) + xy(x^2 - y^2)=\)

\( = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2 + xy)=\)

\( = (x - y)(x + y)(x^2 + xy + y^2).\)

Пояснения:

Использованные формулы и приёмы:

1. Сумма кубов:

\(a^3 + b^3 = (a + b)\,(a^2 - ab + b^2).\)

2. Разность кубов:

\(a^3 - b^3 = (a - b)\,(a^2 + ab + b^2).\)

3. Разность квадратов:

\(a^2 - b^2 = (a - b)\,(a + b).\)

4. Группировка и вынесение общего множителя.

\(ax + bx) = (a + b)x\).

5. Свойство степени:

\((a^m)^n=a^{mn}\).

а) Сгруппировали:

\(x^3+y^3\) и \(2x^2 - 2xy + 2y^2\).

Применили формулу суммы кубов к первым двум членам, у второй группы вынесли общий множитель 2, затем вынесли общий множитель

\((x^2 - xy + y^2)\).

б) Сгруппировали:

\(a^3 - b^3\) и \(3a^2 + 3ab + 3b^2)\).

Применили формулу разности кубов к первым двум членам, у второй группы вынесли общий множитель 3, затем вынесли общий множитель

\((a^2 + ab + b^2)\).

в) Сначала разложили

\(a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2\) по формуле разности квадратов, а из \(ab^3 - a^3b\) вынесли общий множитель \(ab\), затем вынесли общий множитель \(a^2 - b^2\), который далее разложили по формуле разности квадратов.

г) Сначала разложили

\(x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2\) по формуле разности квадратов, а bp \(x^3y - xy^3\) вынесли общий множитель \(xy\), затем вынесли общий множитель \(x^2 - y^2\), который далее разложили по формуле разности квадратов.

Пусть \(x\) - число двухрублёвых монет, а \(y\) — число пятирублёвых монет.

Составим уравнение для денежной суммы:

\(2x + 5y = 28,\) откуда  \(x = \frac{28 - 5y}{2}.\)

Так как \(x\) должно быть целым числом, то числитель \(28 - 5y\) — чётное число. Значит \(5y\) чётно, а это возможно только если \(y\) чётно.

Пусть \(y = 2, 4\). Тогда получаем:

\(y=2 \;\Rightarrow\; x=\frac{28-10}{2}=9,\)

\(y=4 \;\Rightarrow\; x=\frac{28-20}{2}=4. \)

Заметим, что при  \(y > 4\) результат получается отрицательный, что в данном случае не подходит.

Ответ: было взято 9 или 4 двухрублёвых монет.

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

– Составление линейного уравнения по условию задачи.

– Решение полученного уравнения методом подстановки и учёт целочисленности переменных.

– Критерий чётности: сумма чётна тогда и только тогда, когда чётное число слагаемых даёт чётный результат.

1. Обозначения:

Переменная \(x\) отвечает за количество двухрублёвых монет, переменная \(y\) — за количество пятирублёвых монет.

2. Составление уравнения:

Каждая двухрублёвая монета даёт 2 р., каждая пятирублёвая — 5 р., всего нужно собрать 28 р. Поэтому записываем уравнение:

\[2x + 5y = 28.\]

3. Решение уравнения:

Выразили \(x\) через \(y\):

\[x = \frac{28 - 5y}{2}.\]

Чтобы дробь была целой, числитель делился на 2 без остатка. Так как 28 — чётное, надо, чтобы \(5y\) было чётным. Но 5 — нечётное, значит и \(y\) должно быть чётным.

4. Поиск всех целых решений:

Подставили чётные значения \(y=2,4\). При больших \(y\) получаем отрицательное \(x\), что не подходит, так как количество монет не может быть отрицательным.

В результате получили три решения: \(x=9,4\).