Упражнение 1018 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 198

\( (a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)-(a^3 - b^3)(a^3 + b^3)=2b^6 \)

\((a^2)^3 + (b^2)^3 - ((a^3)^2 - (b^3)^2) = 2b^6\)

\(a^6 + b^6 - (a^6 - b^6) = 2b^6 \)

\( \cancel{a^6} + b^6 - \cancel{a^6} + b^6 = 2\,b^6. \)

\(2b^6 = 2b^6\)

Тождество доказано.

Пояснения:

Использованные формулы и приёмы:

1) Сумма кубов:

\( a^3 + b^3 = (a + b)\,(a^2 - ab + b^2). \)

2) Разность квадратов:

\( a^2 - b^2 = (a - b)\,(a + b). \)

3) Свойства степени:

\((a^m)^n = a^{mn}\).

4) Раскрытие скобок:

\(a - (b + c) = a - b - c\).

5) Подобные члены:

\(ax + bx = (a + b)x\).

Произведение первых двух скобок по формуле суммы кубов двух выражений заменяем на:

\((a^2)^3 + (b^2)^3\).

Произведение вторых двух скобок по формуле разности квадратов двух выражений заменяем на:

\((a^3)^2 - (b^3)^2\).

Далее выполняем преобразования, используя свойства степени, приводим подобные члены, и в левой части равенства получаем \(2b^6\), что совпадает с правой частью равенства. Тем самым тождество доказано.

а) \(a^2 + b^2 - 2ab - 25 =\)

\(=(a^2 - 2ab + b^2) - 25 =\)

\(=(a - b)^2 - 5^2 =\)

\(=(a - b - 5)(a - b + 5)\);

б) \(36 - b^2 - c^2 + 2bc =\)

\(=36 - (b^2 - 2bc + c^2 =\)

\(=6^2 - (b - c)^2 =\)

\(=(6 - (b - c))(6 + (b - c)) =\)

\(=(6 - b + c)(6 + b - c)\);

в) \(49 - 2ax - a^2 - x^2 = \)

\(=49 - (a^2 + 2ax + x^2) = \)

\(=7^2 - (a + x)^2 =\)

\(=(7 - (a + x))(7 + (a + x)) =\)

\(=(7 - a - x)(7 + a + x)\);

г) \(b^2 - a^2 - 12a - 36 =\)

\(=b^2 - (a^2 + 12a + 36) =\)

\(=b^2 - (a + 6)^2 =\)

\(=(b - (a + 6))(b + (a + 6)) = \)

\(=(b - a - 6)(b + a + 6)\);

д) \(81a^2 + 6bc - 9b^2 - c^2 =\)

\(=81a^2 - (9b^2 - 6bc + c^2) =\)

\(=(9a)^2 - (3b - c)^2 =\)

\(=(9a - (3b - c))(9a + (3b - c)) =\)

\(=(9a - 3b + c)(9a + 3b - c)\);

е) \(b^2c^2 - 4bc - b^2 - c^2 + 1 =\)

\(b^2c^2 - 2bc - 2bc - b^2 - c^2 + 1 =\)

\(=((bc)^2 - 2bc + 1^2) - (b^2 + 2bc + c^2) =\)

\(=(bc - 1)^2 - (b + c)^2 = \)

\(=((bc - 1) - (b + c))((bc - 1) + (b + c)) =\)

\(=(bc - b - c - 1)(bc + b + c - 1)\).

Пояснения:

Использованные формулы и приёмы:

1. Квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\)

2. Квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\)

3. Разность квадратов:

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).\)

4. Раскрытие скобок: если перед скобками стоит знак плюс, то при их раскрытии знаки слагаемых в скобках сохраняются, если перед скобками стоит знак минус, то при их раскрытии знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные.

5. Свойство степени:

\(a^nb^n=(ab)^n\).

6. Приведение подобных слагаемых:

\(ax + bx = (a + b)x\).

В пунктах а) - д) сгруппировали три члена, которые образуют формулу квадрата суммы или квадрата разности, затем применили формулу разности квадратов, раскрыли скобки внутри каждого множителя, учитывая знаки.

В пункте е) \(-4bc\) предстали в виде суммы подобных слагаемых \(-2bc\) и \(-2bc\), затем сгруппировали члены тройками так, что каждая тройка образовала квадрат двучлена, далее применили формулу разности квадратов, раскрыли скобки внутри каждого множителя, учитывая знаки.