Упражнение 990 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( (x - 8)(x + 8) - (x - 12)(x + 12) =\)

\(= (x^2 - 64) - (x^2 - 144) =\)

\( = \cancel{x^2} - 64 - \cancel{x^2} + 144 =\)

\(= - 64 + 144 = 80 \) - не зависит от \(x\).

б) \( \bigl(y - \tfrac{5}{9}\bigr)\bigl(y + \tfrac{5}{9}\bigr)+\bigl(\tfrac{2}{3} - y\bigr)\bigl(\tfrac{2}{3} + y\bigr)= \)

\(= (y^2 - \tfrac{25}{81}) + (\tfrac{4}{9} - y^2) =\)

\( = \cancel{y^2} - \tfrac{25}{81} + \tfrac{4}{9} - \cancel{y^2} =\)

\(=\tfrac{4}{9} ^{\color{blue}{\backslash9}} - \tfrac{25}{81}=\tfrac{36}{81} - \tfrac{25}{81}=\tfrac{11}{81}\) - не зависит от \(x\).

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1. \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) - произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

2. Сложение и вычитание многочленов: у вычитаемого многочлена при раскрытии скобок все знаки меняют на противоположные:

\(a-(b+c) = a-b-c\).

3. Приведение подобных слагаемых:

\(ax+bx=(a+b)x\).

Пояснения к пункту а)

По формуле разности квадратов:

\( (x - 8)(x + 8) = x^2 - 8^2 = x^2 - 64, \)

\( (x - 12)(x + 12) = x^2 - 12^2 = x^2 - 144. \)

При вычитании второго выражения из первого получаем:

\( (x^2 - 64) - (x^2 - 144) = x^2 - 64 - x^2 + 144. \)

Слагаемые \(x^2\) и \(-\,x^2\) сокращаются, остаётся \(-64 + 144 = 80\). Таким образом, результат не зависит от \(x\) и равен \(80\) для любого \(x\).

Пояснения к пункту б)

По формуле разности квадратов:

\( \bigl(y - \tfrac{5}{9}\bigr)\bigl(y + \tfrac{5}{9}\bigr) = y^2 - \bigl(\tfrac{5}{9}\bigr)^2 =\)

\(=y^2 - \tfrac{25}{81}; \)

\( \bigl(\tfrac{2}{3} - y\bigr)\bigl(\tfrac{2}{3} + y\bigr) = \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^2 - y^2 =\)

\(=\tfrac{4}{9} - y^2. \)

Складываем оба результата:

\( \bigl(y^2 - \tfrac{25}{81}\bigr) + \bigl(\tfrac{4}{9} - y^2\bigr) =\)

\(=y^2 - y^2 + \tfrac{4}{9} - \tfrac{25}{81}. \)

Члены \(y^2\) и \(-\,y^2\) сокращаются. Чтобы вычесть дроби \(\tfrac{4}{9}\) и \(\,\tfrac{25}{81}\), приводим \(\tfrac{4}{9}\) к знаменателю \(81\):

\(\tfrac{4}{9} ^{\color{blue}{\backslash9}} - \tfrac{25}{81}=\tfrac{36}{81} - \tfrac{25}{81}=\tfrac{11}{81}\)

Получаем постоянное значение \(\tfrac{11}{81}\), которое не зависит от значения переменной \(y\).

а) \( (a^2 - 7)(a + 2) - (2a - 1)(a - 14) = \)

\(=\bigl(a^3 + 2a^2 - 7a - 14\bigr) - \bigl(2a^2 - 29a + 14\bigr) =\)

\(=a^3 + \cancel{2a^2} - 7a - 14-\cancel{2a^2} + 29a - 14 =\)

\(=a^3 + 22a - 28. \)

б) \( (2 - b)(1 + 2b) + (1 + b)(b^3 - 3b) =\)

\(=\bigl(2 + 2b - b - 2b^2\bigr) + \bigl(b^3 - 3b + b^4 - 3b^2\bigr) =\)

\(=2 + 2b - b - 2b^2 + b^3 - 3b + b^4 - 3b^2 =\)

\(=b^4 + b^3 - 5b^2 + 2. \)

Пояснения:

Основные правила и приёмы:

1. Умножение многочлена на многочлен:

\((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.\)

2. Раскрытие скобок: если перед скобками стоит знак минус, то при их раскрытии меняем знаки всех слагаемых из скобок на противоположные.

3. Приведение подобных слагаемых:

\(ax + bx = (a + b)x\).

— В пункте а) сначала раскрыли оба произведения, затем вычли второе из первого, объединив подобные члены.

— В пункте б) отдельно раскрыли два произведения, сложили результаты и привели подобные члены.