Упражнение 974 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 194

\( (a + b)^6 = a^6 \;+\; 6\,a^5b \;+\; 15\,a^4b^2 \;+\; 20\,a^3b^3 \;+\; 15\,a^2b^4 \;+\; 6\,ab^5 \;+\; b^6. \)

Проверка:

\((a + b)^5\cdot(a + b) = \)

\(=(a^5 + 5\,a^4b + 10\,a^3b^2 + 10\,a^2b^3 + 5\,ab^4 + b^5)\cdot(a + b)= \)

\(=\underbrace{a^6}_{a^5\cdot a} \;+\; \underbrace{5\,a^5b}_{5\,a^4b\cdot a} \;+\; \underbrace{10\,a^4b^2}_{10\,a^3b^2\cdot a} \;+\; \underbrace{10\,a^3b^3}_{10\,a^2b^3\cdot a} \;+\; \underbrace{5\,a^2b^4}_{5\,ab^4\cdot a} \;+\; \underbrace{a\,b^5}_{b^5\cdot a} +\; \underbrace{a^5b}_{a^5\cdot b} \;+\; \underbrace{5\,a^4b^2}_{5\,a^4b\cdot b} \;+\; \underbrace{10\,a^3b^3}_{10\,a^3b^2\cdot b} \;+\; \underbrace{10\,a^2b^4}_{10\,a^2b^3\cdot b} \;+\; \underbrace{5\,ab^5}_{5\,ab^4\cdot b} \;+\; \underbrace{b^6}_{b^5\cdot b}= \)

\(= a^6 \;+\; (5\,a^5b + a^5b) \;+\; (10\,a^4b^2 + 5\,a^4b^2) \;+\; (10\,a^3b^3 + 10\,a^3b^3) \;+\; (5\,a^2b^4 + 10\,a^2b^4) \;+\; (a\,b^5 + 5\,a\,b^5) \;+\; b^6= \)

\(= a^6 \;+\; 6\,a^5b \;+\; 15\,a^4b^2 \;+\; 20\,a^3b^3 \;+\; 15\,a^2b^4 \;+\; 6\,a\,b^5 \;+\; b^6.\)

Пояснения:

При записи формулы двучлена \(a + b\) в степени \(n\), первый член получаемого многочлена равен \(a^n\) и \(b^0\). Далее при переходе к каждому последующему члену показатель степени \(a\) уменьшается на 1, а показатель степени \(b\) увеличивается на 1, т.е. сумма показателей степеней в каждом слагаемом равна \(n\).

Для определения коэффициентов получаемого многочлена, используют треугольник Паскаля. В треугольнике Паскаля "боковые стороны" состоят из единиц, а каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, записанных над ним.

Строки треугольника Паскаля определяют коэффициенты многочлена в формуле для данной степени \(n\).

Использованные правила и приемы:

1) Умножение многочлена на многочлен:

\((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\).

2) Свойство степени:

\(a^na^m = a^{n+m}\).

3) Приведение подобных членов: после раскрытия скобок складываем или вычитаем члены с одинаковыми степенями переменной:

\(ax+bx=(a+b)x\).

а) \( (x - 8)(x + 8) - (x - 12)(x + 12) =\)

\(= (x^2 - 64) - (x^2 - 144) =\)

\( = \cancel{x^2} - 64 - \cancel{x^2} + 144 =\)

\(= - 64 + 144 = 80 \) - не зависит от \(x\).

б) \( \bigl(y - \tfrac{5}{9}\bigr)\bigl(y + \tfrac{5}{9}\bigr)+\bigl(\tfrac{2}{3} - y\bigr)\bigl(\tfrac{2}{3} + y\bigr)= \)

\(= (y^2 - \tfrac{25}{81}) + (\tfrac{4}{9} - y^2) =\)

\( = \cancel{y^2} - \tfrac{25}{81} + \tfrac{4}{9} - \cancel{y^2} =\)

\(=\tfrac{4}{9} ^{\color{blue}{\backslash9}} - \tfrac{25}{81}=\tfrac{36}{81} - \tfrac{25}{81}=\tfrac{11}{81}\) - не зависит от \(x\).

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1. \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) - произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

2. Сложение и вычитание многочленов: у вычитаемого многочлена при раскрытии скобок все знаки меняют на противоположные:

\(a-(b+c) = a-b-c\).

3. Приведение подобных слагаемых:

\(ax+bx=(a+b)x\).

Пояснения к пункту а)

По формуле разности квадратов:

\( (x - 8)(x + 8) = x^2 - 8^2 = x^2 - 64, \)

\( (x - 12)(x + 12) = x^2 - 12^2 = x^2 - 144. \)

При вычитании второго выражения из первого получаем:

\( (x^2 - 64) - (x^2 - 144) = x^2 - 64 - x^2 + 144. \)

Слагаемые \(x^2\) и \(-\,x^2\) сокращаются, остаётся \(-64 + 144 = 80\). Таким образом, результат не зависит от \(x\) и равен \(80\) для любого \(x\).

Пояснения к пункту б)

По формуле разности квадратов:

\( \bigl(y - \tfrac{5}{9}\bigr)\bigl(y + \tfrac{5}{9}\bigr) = y^2 - \bigl(\tfrac{5}{9}\bigr)^2 =\)

\(=y^2 - \tfrac{25}{81}; \)

\( \bigl(\tfrac{2}{3} - y\bigr)\bigl(\tfrac{2}{3} + y\bigr) = \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^2 - y^2 =\)

\(=\tfrac{4}{9} - y^2. \)

Складываем оба результата:

\( \bigl(y^2 - \tfrac{25}{81}\bigr) + \bigl(\tfrac{4}{9} - y^2\bigr) =\)

\(=y^2 - y^2 + \tfrac{4}{9} - \tfrac{25}{81}. \)

Члены \(y^2\) и \(-\,y^2\) сокращаются. Чтобы вычесть дроби \(\tfrac{4}{9}\) и \(\,\tfrac{25}{81}\), приводим \(\tfrac{4}{9}\) к знаменателю \(81\):

\(\tfrac{4}{9} ^{\color{blue}{\backslash9}} - \tfrac{25}{81}=\tfrac{36}{81} - \tfrac{25}{81}=\tfrac{11}{81}\)

Получаем постоянное значение \(\tfrac{11}{81}\), которое не зависит от значения переменной \(y\).