Упражнение 962 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( x^2 - y^2 - x - y =\)

\(=\bigl(x^2 - y^2\bigr) - (x + y) =\)

\(=(x - y)(x + y) - 1\cdot(x + y) =\)

\(=(x + y)\bigl((x - y) - 1\bigr) =\)

\(=(x + y)(x - y - 1). \)

б) \( a^2 - b^2 - a + b =\)

\(=\bigl(a^2 - b^2\bigr) - (a - b) =\)

\(=(a - b)(a + b) - 1\cdot(a - b) =\)

\(=(a - b)\bigl((a + b) - 1\bigr) =\)

\(=(a - b)(a + b - 1). \)

в) \( m + n + m^2 - n^2 =\)

\(=\bigl(m^2 - n^2\bigr) + (m + n) = \)

\(=(m - n)(m + n) + 1\cdot(m + n) =\)

\(=(m + n)\bigl((m - n) + 1\bigr) =\)

\(=(m + n)(m - n + 1). \)

г) \( k^2 - k - p^2 - p =\)

\(=\bigl(k^2 - p^2\bigr) - (k + p) =\)

\(=(k - p)(k + p) - 1\cdot(k + p) =\)

\(=(k + p)\bigl((k - p) - 1\bigr) =\)

\(=(k + p)(k - p - 1). \)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

— Группировка: разбиваем многочлен на сумму (или разность) двух выражений, каждое из которых содержит общий множитель.

— Вынесение общего множителя: если в каждом из членов группы есть одинаковый множитель \(x\), то

\(ax +bx = (a + b)x\).

— Формула разности квадратов::

\( a^2 - b^2 = (a - b)\,(a + b). \)

Применяется в тех случаях, где внутри выражения виден квадрат разности двух переменных.

— После группировки и вынесения общего множителя внутри скобок образуется выражение, которое уже и служит вторым множителем.

В каждом пункте мы сначала сгруппировали члены так, чтобы получить разность квадратов (например, \(x^2 - y^2\), \(a^2 - b^2\) и т. п.) и отдельно линейное выражение. Затем вынесли общий множитель из двух частей, после чего внутри скобок оказалась либо разность квадратов, либо уже готовая линейная комбинация. В итоге получили произведение двух множителей в каждом случае.

а) \((x + y)^6 + (x - y)^6=\)

\(=(x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6) + (x^6 - 6x^5y + 15x^4y^2 - 20x^3y^3 + 15x^2y^4 - 6xy^5 + y^6)=\)

\(=x^6 + \cancel{6x^5y} + 15x^4y^2 + \cancel{20x^3y^3} + 15x^2y^4 + \cancel{6xy^5} + y^6+x^6 - \cancel{6x^5y} + 15x^4y^2 - \cancel{20x^3y^3} + 15x^2y^4 - \cancel{6xy^5} + y^6= \)

\(=(x^6 + x^6) + (15x^4y^2 + 15x^4y^2) + (15x^2y^4 + 15x^2y^4) + (y^6 + y^6) =\)

\(= 2\,x^6 + 30\,x^4y^2 + 30\,x^2y^4+2\,y^6. \)

б) \( (x + y)^6 - (x - y)^6 = \)

\(=(x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6)-(x^6 - 6x^5y + 15x^4y^2 - 20x^3y^3 + 15x^2y^4 - 6xy^5 + y^6)= \)

\( = \cancel{x^6} + 6x^5y + \cancel{15x^4y^2} + 20x^3y^3 + \cancel{15x^2y^4} + 6xy^5 + \cancel{y^6} - \cancel{x^6} + 6x^5y - \cancel{15x^4y^2} + 20x^3y^3 - \cancel{15x^2y^4} + 6xy^5 - \cancel{y^6}= \)

\(=(6x^5y + 6x^5y) + (20x^3y^3 + 20x^3y^3) + (6xy^5 + 6xy^5) = \)

\(=12\,x^5y+40\,x^3y^3+12\,x\,y^5. \)

Пояснения:

1) При записи формулы двучлена

\(a + b\) в степени \(n\), первый член получаемого многочлена равен \(a^n\) и \(b^0\). Далее при переходе к каждому последующему члену показатель степени \(a\) уменьшается на 1, а показатель степени \(b\) увеличивается на 1, т.е. сумма показателей степеней в каждом слагаемом равна \(n\).

Для определения коэффициентов получаемого многочлена, используют треугольник Паскаля. В треугольнике Паскаля "боковые стороны" состоят из единиц, а каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, записанных над ним.

Строки треугольника Паскаля определяют коэффициенты многочлена в формуле для данной степени \(n\).

Значит, коэффициенты двучлена четвертой степени равны:

1; 6; 15; 20; 15; 6; 1.

Тогда:

\((x + y)^6=x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6\).

\( (x - y)^6=x^6 - 6x^5y + 15x^4y^2 - 20x^3y^3 + 15x^2y^4 - 6xy^5 + y^6\).

2) Сумма и разность:

— При сложении \((x + y)^6 + (x - y)^6\) все члены с нечётными степенями \(y\) сокращаются (так как они входят с противоположными знаками).

— При вычитании \((x + y)^6 - (x - y)^6\) остаются только члены с нечётными степенями \(y\), причём их коэффициенты удваиваются.

3) Итоговые многочлены:

— \((x + y)^6 + (x - y)^6 = 2x^6 + 30x^4y^2 + 30x^2y^4 + 2y^6.\)

— \((x + y)^6 - (x - y)^6 = 12x^5y + 40x^3y^3 + 12xy^5.\)

Таким образом получены искомые представления в виде многочленов.