Упражнение 958 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( 4xy + 12y - 4x - 12 =\)

\(=(4xy + 12y) - (4x + 12)=\)

\(= 4y(x + 3) - 4(x + 3) = \)

\(=\bigl(4y - 4\bigr)(x + 3) = \)

\(=4(y - 1)(x + 3). \)

б) \( 60 + 6ab - 30b - 12a =\)

\(=6\bigl(10 + ab - 5b - 2a\bigr)=\)

\( = 6\bigl((ab - 2a) - (5b + 10)\bigr) =\)

\(=6(a(b - 2) - 5(b - 2)) =\)

\(=6(a - 5)(b - 2). \)

в) \( -abc - 5ac - 4ab - 20a =\)

\(=-a\bigl(bc + 5c + 4b + 20\bigr)= \)

\(=-a((bc + 5c) + (4b + 20)) =\)

\(=-a(c(b + 5) + 4(b + 5)) = \)

\(=-a(c + 4)(b + 5) \)

г) \( a^3 + a^2b + a^2 + ab = \)

\(=(a^3 + a^2b) + (a^2 + ab)= \)

\(= a^2(a + b) + a(a + b) =\)

\(=\bigl(a^2 + a\bigr)\,(a + b) =\)

\(=a(a + 1)(a + b). \)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

— Группировка: разбиваем многочлен на две или более групп, в каждой из которых можно вынести общий множитель.

— Вынесение общего множителя за скобки: если у многочлена каждый член содержит общий множитель \(x\), то

\(ax + bx = (a+b)x.\)

— В пункте (а) после группировки и вынесения \(4y\) и \(4\) получилась общая скобка \((x + 3)\), а множитель \(4(y - 1)\) вынесен отдельно.

— В пункте (б) сначала вынесли \(6\), затем внутри сгруппировали по одинаковому множителю \((b - 2)\) после приведения по \(a\) и числу.

— В пункте (в) вынесли \(-a\), затем заметили, что внутри скобок два выражения имеют общий множитель \((b + 5)\) после группировки по \(c\) и \(4\).

— В пункте (г) сначала сгруппировали по \(a^2\) и \(a\), затем вынесли \(a^2\) и \(a\), в итоге оказалась скобка \((a + b)\), а множитель \(a(a + 1)\) вынесен отдельно.

\( (a + b)^6 = a^6 \;+\; 6\,a^5b \;+\; 15\,a^4b^2 \;+\; 20\,a^3b^3 \;+\; 15\,a^2b^4 \;+\; 6\,ab^5 \;+\; b^6. \)

Проверка:

\((a + b)^5\cdot(a + b) = \)

\(=(a^5 + 5\,a^4b + 10\,a^3b^2 + 10\,a^2b^3 + 5\,ab^4 + b^5)\cdot(a + b)= \)

\(=\underbrace{a^6}_{a^5\cdot a} \;+\; \underbrace{5\,a^5b}_{5\,a^4b\cdot a} \;+\; \underbrace{10\,a^4b^2}_{10\,a^3b^2\cdot a} \;+\; \underbrace{10\,a^3b^3}_{10\,a^2b^3\cdot a} \;+\; \underbrace{5\,a^2b^4}_{5\,ab^4\cdot a} \;+\; \underbrace{a\,b^5}_{b^5\cdot a} +\; \underbrace{a^5b}_{a^5\cdot b} \;+\; \underbrace{5\,a^4b^2}_{5\,a^4b\cdot b} \;+\; \underbrace{10\,a^3b^3}_{10\,a^3b^2\cdot b} \;+\; \underbrace{10\,a^2b^4}_{10\,a^2b^3\cdot b} \;+\; \underbrace{5\,ab^5}_{5\,ab^4\cdot b} \;+\; \underbrace{b^6}_{b^5\cdot b}= \)

\(= a^6 \;+\; (5\,a^5b + a^5b) \;+\; (10\,a^4b^2 + 5\,a^4b^2) \;+\; (10\,a^3b^3 + 10\,a^3b^3) \;+\; (5\,a^2b^4 + 10\,a^2b^4) \;+\; (a\,b^5 + 5\,a\,b^5) \;+\; b^6= \)

\(= a^6 \;+\; 6\,a^5b \;+\; 15\,a^4b^2 \;+\; 20\,a^3b^3 \;+\; 15\,a^2b^4 \;+\; 6\,a\,b^5 \;+\; b^6.\)

Пояснения:

При записи формулы двучлена \(a + b\) в степени \(n\), первый член получаемого многочлена равен \(a^n\) и \(b^0\). Далее при переходе к каждому последующему члену показатель степени \(a\) уменьшается на 1, а показатель степени \(b\) увеличивается на 1, т.е. сумма показателей степеней в каждом слагаемом равна \(n\).

Для определения коэффициентов получаемого многочлена, используют треугольник Паскаля. В треугольнике Паскаля "боковые стороны" состоят из единиц, а каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, записанных над ним.

Строки треугольника Паскаля определяют коэффициенты многочлена в формуле для данной степени \(n\).

Использованные правила и приемы:

1) Умножение многочлена на многочлен:

\((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\).

2) Свойство степени:

\(a^na^m = a^{n+m}\).

3) Приведение подобных членов: после раскрытия скобок складываем или вычитаем члены с одинаковыми степенями переменной:

\(ax+bx=(a+b)x\).