Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№945 учебника 2023-2025 (стр. 187):
Докажите тождество:
а) \((a - 3c)(4c + 2a) + 3c(a + 3c) = (2a - c)(3c + 5a) - 8a^2;\)
б) \((1 - 2b)(1 - 5b + b^2) + (2b - 1)(1 - 6b + b^2) = b(1 - 2b).\)
№945 учебника 2013-2022 (стр. 188):
Разложите на множители:
а) \(x^2 + 2xy + y^2 - m^2;\)
б) \(p^2 - a^2 - 2ab - b^2;\)
в) \(b^2 - c^2 - 8b + 16;\)
г) \(9 - c^2 + a^2 - 6a.\)
№945 учебника 2023-2025 (стр. 187):
№945 учебника 2013-2022 (стр. 188):
Вспомните:
№945 учебника 2023-2025 (стр. 187):
а) \((a - 3c)(4c + 2a) + 3c(a + 3c) = (2a - c)(3c + 5a) - 8a^2\)
1) \( (a - 3c)(4c + 2a) + 3c(a + 3c)= \)
\(=4ac + 2a^2 - 12c^2 - 6ac + 3ac + 9 c^2= \)
\(= 2a^2 + ac - 3c^2. \)
2) \( (2a - c)(3c + 5a) - 8a^2=\)
\(= 6ac + 10a^2 - 3c^2 - 5ac - 8a^2=\)
\(= 2a^2 + ac - 3c^2. \)
Тождество доказано.
б) \((1 - 2b)(1 - 5b + b^2) + (2b - 1)(1 - 6b + b^2) = b(1 - 2b)\)
1) \( (1 - 2b)(1 - 5b + b^2) + (2b - 1)(1 - 6b + b^2)=\)
\(= \cancel{1} - 5b + \cancel{b^2} - \cancel{2b} + 10b^2 - \cancel{2b^3} + \cancel{2b} - 12b^2 + \cancel{2b^3} - \cancel{1} + 6b - \cancel{b^2} =\)
\(= b - 2b^2 \)
2) \(b(1 - 2b) = b - 2b^2\).
Тождество доказано.
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
1) Умножение одночлена на многочлен:
\(a(b + c) = ab + ac\).
2) Умножение многочлена на многочлен: каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго многочлена:
\((a+b)(c+d)=ac + ad + bc + bd\).
3) Приведение подобных слагаемых:
\(ax + bx = (a + b)x\).
В обеих частях задачи мы последовательно раскрыли все скобки, выполнили сложение или вычитание полученных членов и убедились, что левая и правая части совпадают при любых значениях переменных.
№945 учебника 2013-2022 (стр. 188):
а) \( x^2 + 2xy + y^2 - m^2 =\)
\(= (x^2 + 2xy + y^2) - m^2 =\)
\(=(x + y)^2 - m^2 =\)
\(=\bigl((x + y) - m\bigr)\,\bigl((x + y) + m\bigr) =\)
\(=(x + y - m)\,(x + y + m). \)
б) \( p^2 - a^2 - 2ab - b^2 =\)
\(=p^2 - \bigl(a^2 + 2ab + b^2\bigr) =\)
\(=p^2 - (a + b)^2 =\)
\(=(p - (a + b))\,(p + (a + b)) = \)
\(=(p - a - b)\,(p + a + b). \)
в) \( b^2 - c^2 - 8b + 16 =\)
\(=(b^2 - 8b + 16) - c^2 = \)
\(=(b - 4)^2 - c^2 =\)
\(=\bigl((b - 4) - c\bigr)\,\bigl((b - 4) + c\bigr) =\)
\(=(b - c - 4)\,(b + c - 4). \)
г) \( 9 - c^2 + a^2 - 6a =\)
\(=(a^2 - 6a + 9) - c^2 =\)
\(=(a - 3)^2 - c^2 =\)
\(=\bigl((a - 3) - c\bigr)\,\bigl((a - 3) + c\bigr) =\)
\(=(a - c - 3)\,(a + c - 3). \)
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
— Формула разности квадратов:
\( a^2 - b^2 = (a - b)\,(a + b). \)
Применялась в каждом пункте, когда выражение представлялось как разность двух квадратов.
— Формула квадрата двучлена:
\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\) - квадрат суммы;
\(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\) - квадрат разности.
Пояснение к пункту а):
В выражении \(x^2 + 2xy + y^2 - m^2\) сначала заметили полный квадрат \(x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2\), после чего получили разность квадратов
\((x + y)^2 - m^2\).
По формуле разности квадратов это даёт
\((x + y - m)(x + y + m)\).
Пояснение к пункту б):
В выражении \(p^2 - a^2 - 2ab - b^2\) сгруппировали вторую часть как полный квадрат
\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\).
Тогда получается \(p^2 - (a + b)^2\), что по формуле разности квадратов раскладывается в
\((p - a - b)(p + a + b)\).
Пояснение к пункту в):
В трёхчлене \(b^2 - c^2 - 8b + 16\) сначала выделили полный квадрат \(b^2 - 8b + 16 = (b - 4)^2\). После этого получили \((b - 4)^2 - c^2\), что есть разность квадратов. Разложение по формуле даёт \((b - 4 - c)(b - 4 + c)\), что равно \((b - c - 4)(b + c - 4)\).
Пояснение к пункту г):
В выражении \(9 - c^2 + a^2 - 6a\) сначала переписали его как
\((a^2 - 6a + 9) - c^2\).
Замечен полный квадрат
\(a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2\).
Тогда имеем \((a - 3)^2 - c^2\), что по формуле разности квадратов равно \((a - 3 - c)(a - 3 + c)\), то есть
\((a - c - 3)(a + c - 3)\).
Вернуться к содержанию учебника